一道课本例题的再思考

张琼

已知正方形ABCD的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，分别写出各顶点的坐标.

【评析】本题比较简单，建立适当的平面直角坐标系即可解决问题.课本上的解法是：如图，以点A为坐标原点，分别以边AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，那么点A、B、C、D的坐标分别为A（0，0）、B（4，0）、C（4，4）、D（0，4）.

【反思】还能不能建立不同的平面直角坐标系来表示例3中正方形各顶点的坐标呢？答案是肯定的，其实我们可以把原点选在正方形的中心（如图2、3），所以4个顶点的坐标都很简洁且具有良好的对称性，这样可以更简便地解决问题。

【深入探究】

变式1：如图，以正方形ABCD的中心O为原点建立平面直角坐标系，点C的坐标为（2，2），求点A、B、D的坐标.

【评析】图形的对称变换是新课程标准中的一个重要内容.不仅在三角形、四边形、圆等图形的学习和研究中有大量应用，而且在平面直角坐标系中也有很好的应用与体现.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）；点（x，y）关于原点对称的点的坐标（-x，-y） .

【解】A（-2，-2），B（2，-2），D（-2，2）.

变式2：如图，在平面直角坐标系中，动点P在以O为圆心， 为半径的圆上运动，整数点P有____________个.

【评析】 整数点P可能落在各象限内，它们之间存在着某种对称思想，只要寻找到一个象限上的整数点便可解决所有的整数点问题.

【解】共有8个，分别是（2，1），（1，2）， （-2，1），（-1，2）， （2，-1），（1，-2）， （-2，-1），（-1，-2）.

变式3：下列四个函数① ；② ；③ ；④ 中，关于 轴成轴对称图形的是____________.

【评析】本题可画出函数各自图象观察解决，也可从坐标对称的角度来理解函数图象关于 轴成轴对称图形.

【解】只有 ④正确.

变式4：如图，已知抛物线C1： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1.

（1）求P点坐标及 的值；

（2）如图，①若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的解析式；

②抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C2与C3的解析式；

【评析】解题时可借助常规方法求解，也可借助坐标的对称性解题：如果函数图象关于x轴对称，则函数值y变为相反数-y，而自变量x不变；如果函数图象关于y轴对称，则自变量x变为相反数-x，而函数值y不变；如果函数图象关于原点成中心对称，则函数变量x、y都变为相反数-x、-y.