超混沌系统的动力学性质及同步问题的研究

李贤丽　张超颖

摘要：选取一个超混沌Qi系统，详细分析其动力学性质。采取基于观测器的方法来实现系统在不同初值条件下的同结构投影同步，并采用反馈法的思想设计合适的控制器，以实现Qi系统和Liu系统不同结构之间的完全同步。通过Lyapunov稳定性定理证明控制器的合理性，并对两种同步方法进行数值仿真来证明其可行性和有效性。

关键词：超混沌系统； 观测器法； 投影同步； 完全同步

中图分类号： N 93 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.014

Abstract：By adopting a novel hyper-chaotic Qi system， we analyze its kinetic properties systematically. Based on the observation methods， under different initial conditions， we implement the projective synchronization with structure in this system. Along with the idea of feedback method， we also aim at designing a proper controller in order to achieve the fully synchronization between the Qi system and Liu system. Based on Lyapunov stability theorem， we prove the rationality of this controller. Meanwhile， we deploy the numerical simulations of the two synchronization methods to demonstrate its feasibility and effectiveness.

Keywords：hyper-chaos system； observation method； projective synchronization； fully synchronous

引 言

混沌学是非线性运动中重要的学科之一，开创了非线性科学的新局面。自混沌运动发现以来，混沌动力学取得了飞速进展，各国科学家对混沌的特性做了深入的分析和研究。在20世纪60年代初，人们就在第一台激光器中发现了混沌现象。1983年，Gioggia等在Xe激光器中观测到了混沌现象[1]，1985年，Weiss等设计了NH3分子激光器，观测到了Lorenz型的混沌，此后开始了非线性光学[2]的混沌研究并在光学系统中初见成效。90年代后，随着混沌控制和同步的产生，学者们将关注的焦点集中在了混沌现象在光学系统中的控制和同步上[3]，其中，在把掺饵光纤机关器中的激光混沌作为载体来研究保密通信与

级联式光学混沌通信系统方面，取得了许多较好的科研成果[4]，因此，混沌系统在光学保密通信中具有良好的应用前景和巨大潜力。目前，非线性系统的混沌控制和同步研究已取得大量成果，提出了许多有关混沌控制和同步的方法和理论，而对超混沌系统的研究尚处于初期，超混沌运动具有两个或者两个以上正的Lyapunov指数，它的运动轨迹曲线在相空间中多个方向上分离，相对于低维混沌系统具有更为复杂的动力学性质，在保密通信[5]、化学、光通信[6]、工程等领域应用广泛。因此对超混沌系统的研究已引起学者们的广泛关注，而对于其动力学性质、超混沌控制和同步等问题的研究缺乏全面完善的认识，有待于进一步进行研究和探讨。目前常用的同步方法有自适应同步法、脉冲同步法、基于状态观测器广义投影同步法[7]和反馈同步法[8]。

本文选取超混沌Qi系统，从非线性理论分析和数值计算两个角度出发，系统研究高维复杂系统的动力学性质的变化和超混沌运动的变化规律。采用基于状态观测器法实现超混沌Qi系统的广义投影同步和反馈法实现两个超混沌系统的异结构完全同步。

1 超混沌系统的模型和动力学性质

本文选取一个超混沌Qi系统[9]，设x1，y1，z1，w1为系统的状态变量，其方程结构如下：

系统在初始值x0=0.001， y0=0.002，z0=0.003，w0=0.004的情况下通过MATLAB软件对其进行数值计算可得超混沌Qi系统的分岔图，如图1所示。

由分岔图可知在n∈（0，3.87）系统处于超混沌状态，当n>3.87时，系统存在三个定态，其中一个是不稳定定态，两个是稳定定态，随着系统参数n和初始值的变化，系统取两个稳定定态之一。

在非线性动力学系统研究中，平衡态的空间分布具有十分重要的意义。通过所有状态变量对时间的导数全部都等于零，当n=3时，可以得到系统唯一一组实数解（0，0，0，0），即平衡点O（0，0，0，0）。将系统平衡点O的坐标代入Jacobian矩阵，即可得到式（1）的线性化系统矩阵，其特征值λ1=-15，λ2=9，λ3=-16，λ4=-1，四个特征值都为实数，且有一个大于零，三个小于零，所以平衡点O是不稳定的鞍结点，因此系统出现混沌运动。系统的二维相图如图2所示。

2 超混沌Qi系统的同结构同步

主要讨论超混沌Qi系统的自同步，采用观测器法来实现Qi系统的广义投影同步。首先，把式（1）化为f（x）=Ax+Bg（x）+G的形式。

4 结 论

通过分岔图对一个超混沌系统分析了其动力学性质，同时，采用观测器方法实现了超混沌系统的广义投影同步。运用主动控制的思想和Lyapunov理论设计了一个合理的控制器，实现了超混沌Qi系统和超混沌Liu系统的完全同步。用MATLAB软件进行数值仿真，得到了同步曲线和误差曲线，验证了这两种方法的有效性。超混沌系统同步的实现为光保密通信提供了良好的载体，使其抗破译能力更强，保密性更高，因此，有效地将混沌系统的同步与光保密通信结合起来将成为未来的发展趋势。

参考文献：

[1] GIOGGIA R S，ABRAHAM N B.Single-mode self-pulsing instabilities at the lamb dip of a He-Ne 3.39 μm laser[J].Optics Communications，1983，47（4）：278-282.

[2] 孙鹏，李孟超，郑刚，等.LD泵浦固体激光器驱动倍频输出系统调制噪声的研究[J].光学仪器，2003，25（4）：64-66.

[3] PYRAGAS K.Synchronization of coupled time-delay systems：Analytical estimations[J].Phys Rev E，1998，58（3）：3067-3071.

[4] 颜森林，迟泽英，陈文述.掺饵光纤激光器反相相位混沌同步及其编码[J].光学学报，2004，24（1）：29-32.

[5] 李瑞红，陈为胜，李爽.超混沌Lorenz系统的投影同步及其在保密通信中的应用[J].电路与系统学报，2011，16（2）：41-45.

[6] 李晓明，华文深，吴文权.基于双反射面的紫外光通信光学天线的研究[J].光学仪器，2012，34（2）：22-25.

[7] HU M F，XU Z Y，ZHANG R，et al.Adaptive full state hybrid projective synchronization of chaotic systems with the same and different order[J].Physics Letters A，2007，365（4）：315-327.

[8] ZHANG G，LIU Z R，MA Z J.Generalized synchronization of different dimensional chaotic dynamical systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2007，32（2）：773-779.

[9] 高永峰.超混沌Qi系统的构造及基于调制的混沌通信[D].大连：大连理工大学，2008.

[10] 刘扬正，林长圣，姜长生.新的四维超混沌Liu系统及其混沌同步[J].电子科技大学学报，2008，37（2）：235-237.

（编辑：刘铁英）