八模类Lorenz系统的全局动力学特性及数值模拟

徐鸿鹏+尹社会+皮小力

摘 要： 运用Matlab中的Simulink组件，通过理论和数值模拟分析一个八模类Lorenz混沌系统的非线性特性，从对称性、耗散性、空间相图、功率谱、Poincare映射、分岔图等几个方面展示了该系统具有丰富的动力学行为。通过构造广义李雅普诺夫函数给出新的全局指数吸引集及其指数估计速率，该类系统解的界估计为其控制和同步提供理论依据，通过计算机模拟证明，数值模拟与理论计算的结果相吻合。

关键词： 八模类Lorenz系统； 理论分析； 数值模拟； 全局吸引集

中图分类号： TN911?34； O357.1 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）14?0006?02

Global dynamics characteristics and numerical simulation of eight?mode?like Lorenz system

XU Hongpeng， YIN Shehui， PI Xiaoli

（Henan Polytechnic Institute， Nanyang 473000， China）

Abstract： The nonlinear characteristic properties of eight?mode Lorenz?like chaotic system are analyzed by theoretical and numerical simulation based on Simulink in Matlab software. The rich dynamic behavior of the novel chaotic system is demonstrated in the aspects of symmetry， dissipation， space phase diagram， power spectrum， Poincare mapping and bifurcation diagram. The globally exponential attractive set and its exponential estimation rate are given via constructing the generalized Lyapunov function. The boundedness obtained in this paper provides the theoretic foundation for chaotic control and chaotic synchronization of the system. Numerical simulation results show the effectiveness of the proposed scheme， and is consistent with the results of theoretical calculation.

Keywords： eight?mode?like Lorenz system； theoretical analysis； numerical simulation； globally attractive set

0 引 言

奇怪吸引子是相空间中的一个点集，随着运动时间的增加，所有轨线都趋向于它。自从Lorenz在三维自治系统中发现了蝴蝶混沌吸引子之后[1]，就有新的混沌吸引子不断被发现，尤其是这些混沌系统的动力学行为和一些系统的有界性被许多研究者所认识和研究[2?9]。本文进一步考虑文献[10]所提出的新八模类Lorenz 方程组，结合数值计算分析了该系统的动力学特性，表明了在一定参数范围内混沌吸引子的存在性。并通过构造广义李雅普诺夫函数给出了新的全局指数吸引集及其指数估计速率。

1 数学模型及其主要结果

崔妍等在研究平面正方形区域上不可压缩的Navier?Stokes方程进行傅立叶展开后，进行截断得到一个新的八模类Lorenz 方程组[10]。该混沌系统的方程为：

[x1=-2x1+4x2x3+4x4x5+4x6x8x2=-9x2+3x1x3x3=-5x3-7x1x2-95x1x7+Rex4=-5x4-x1x5x5=-x5-3x1x4+5x1x6x6=-x6-5x1x5-3x1x8x7=-5x7+95x1x3x8=-5x8-x1x6] （1）

式中：[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8∈R8]为状态变量；雷诺数Re为系统实参数，其物理意义为是流体惯性力与黏性力比值的量度，无量纲，通过改变Re的取值，可以得到系统的不同动力学行为。

当Re=44.5时，初值取[1，1，1，1，1，1，1，1]，系统（1）轨线的相图如图1所示。

图1 吸引子相图

Poincare映射是通过降低超平面的维数来进行定性研究的一种重要手段，图2表示系统处于混沌状态。功率谱是另一种重要的判断方法，连续功率谱并出现峰值则进一步表明吸引子的混沌特性，如图3所示。分岔图如图4所示。

图2 Poincare映射

图3 功率谱

图4 分岔图

通过数值模拟计算表明，随着参数[Re]的变化，系统表现出汇聚点、极限环（周期轨或拟周期轨）和混沌吸引子等不同的非线性行为，即出现临界Hopf分岔和混沌现象。

2 系统的界估计和数值模拟

下面给出系统的界估计和最终有界集的结论。

定理1：集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系统（1）的正向不变集和最终有界集，其中：

[X=x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]

证明：令[VXt=12i=18x2i]为广义正定，径向无界的Lyapunov函数，对[V]沿系统（1）的轨线对时间求导有：

[dVdt1=i=18xixi=-[2x21+9x22+5x3-Re102+ 5x24+x25+x26+5x27+5x28]+Re220]

令[V=dVdt1=0]，可得到八维超球面[Γ]：

[Γ=X2x21+9x22+5x3-Re102+5x24+x25+x26+5x27+5x28=Re220]

在[Γ]外部，[V<0]，在[Γ]内部，[V>0]，因此，函数[Vx，y，z]只能在[Γ]上取得最大值，如果记函数[Vx，y，z]在[Γ]上的最大值为[R2]，根据文献[9]可得[R2=Re52]。

对于集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]，有[Γ?Ω]；应用反证法易证，[limt→∞ρXt，t0，X0，Ω=0]，即集合[Ω]是系统（1）的正向不变集和最终有界集。特别地，当参数[Re=44.5]时，系统（1）的最终界估计为，[Ω=Xi=18x2i≤8.92]，如图5所示。

图5 最终界

定理2： 令[VXt=12i=18x2i]，则当[VXt≤Re52，][t≥t0]时，系统（1）有如下的指数估计式：

[VXt-Re52≤VXt0-Re52e-2t-t0， t≥t0]

特别地，集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系统（1）的全局指数吸引集。证明略。

该定理不仅给出了系统解的最终界估计式，而且给出了系统（1）的轨线从吸引集外进入吸引集的速率估计表达式。

3 结 论

本文研究了参数[Re]变化时系统（1）的部分动力学行为和全局吸引集，并且给出了相应的计算机仿真。由于该系统具有丰富的动力学行为，其中混沌机理和分岔现象的研究以及电子振荡电路是下一步研究的重点任务。

参考文献

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