高中数学排列组合推理的教学思考

陆效敬

【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。

【关键词】高中数学 排列组合 教学思考

排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。

一、排列组合学习中的基础知识

1.排列组合的基本定义

（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。

（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。

2.排列组合中的两个重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

二、排列组合中的一般方法策略

在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。

1.分部法

对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。

2.捆绑法

对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。

3.插空法

插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。

4.排除法

在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。

5.等价转化法

在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。

以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。

三、典型例题分析

排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。

（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。

四、结论

排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。

【参考文献】

[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.

（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）

【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。

【关键词】高中数学 排列组合 教学思考

排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。

一、排列组合学习中的基础知识

1.排列组合的基本定义

（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。

（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。

2.排列组合中的两个重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

二、排列组合中的一般方法策略

在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。

1.分部法

对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。

2.捆绑法

对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。

3.插空法

插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。

4.排除法

在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。

5.等价转化法

在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。

以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。

三、典型例题分析

排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。

（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。

四、结论

排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。

【参考文献】

[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.

（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）

【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。

【关键词】高中数学 排列组合 教学思考

排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。

一、排列组合学习中的基础知识

1.排列组合的基本定义

（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。

（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。

2.排列组合中的两个重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

二、排列组合中的一般方法策略

在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。

1.分部法

对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。

2.捆绑法

对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。

3.插空法

插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。

4.排除法

在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。

5.等价转化法

在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。

以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。

三、典型例题分析

排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。

（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。

四、结论

排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。

【参考文献】

[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.

（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）