复变函数与积分变换的MATLAB解法与可视化的教学改革研究

王 璐

（黑龙江大学，黑龙江哈尔滨150080）

《复变函数与积分变换》课程是电子、通信、信号处理等理工科必修的基础课，数学理论的抽象和求解过程的烦琐，常常会使学生产生畏惧从而失去兴趣，使教学效果大打折扣，成为后续专业课程学习的“拦路虎”。本文讨论了利用MATLAB解决在《复变函数与积分变换》学习中遇到的一些问题。由于相关书籍大多只介绍MATLAB的基础用法，基础多而实际应用少，其中利用MATLAB求解复变函数和积分变换的研究就更少，本文的研究重点就在于此。利用MATLAB解决《复变函数与积分变换》中的问题，可以节省人力计算，提高学习效率。通过MATLAB将计算结果和复杂函数以图像的形式绘制出来，一方面有利于教学，另一方面可提高学生利用MATLAB编程的能力，为今后学习打下良好基础。

1 MATLAB求解复变函数

MATLAB提供了大量的数学函数，可大大减少手工计算量。复变函数求导，用到的函数是diff（function，’variable’，n），而复变函积分用到的函数是int（function，variable，a，b）。留数的计算可分为两类。第一类是指复变函数的分子和分母都是多项式的形式，函数命令为［R，P，K］=residue（B，A）。第二类指复变函数的分子和分母不是多项式的形式。例如：求f在点的留数。程序如下：

>>symsz

>>f=（z^2-exp（z））/（z^2-1）

>>r=limit（（z-1）*f，z，1）

>>g=limit（（z+1）*f，z，-1）

泰勒级数能够将解析函数展开成幂级数［3］，这给解析函数的研究带来极大方便。例如：求的泰勒级数展开，z＜1，程序如下：

>>symsz

>>f=1/（1-z）;

>>taylor（f，10，z）

应用MATLAB的绘图功能可以方便而且直观地绘制图形，绘制复变函数图像的命令是plot（）和ezplot（）。例如：绘制复变函数z=t+ietsint的图像，程序如下（图像如x y 图1 所示）：

>>symszt

>>t=0:0.01:2*pi;

>>x=t;

>>y=exp（t）.*sin（t）;

>>z=x+i*y;

>>plot（z）;

勒让德函数的图像如图2所示，贝塞尔函数的图像如图3所示，诺依曼函数的图像如图4所示。

图1 复变函数z 的图像

图2 勒让德多项式的图像

图3 贝塞尔函数的图像

图4 诺依曼函数的图像

2 MATLAB求解傅里叶积分变换

傅里叶变换是信号处理等学科的基础，通过傅里叶变换可以获取信号的频谱信息，使频域信号处理更为方便和直观。MATLAB求傅里叶变换的函数格式为fourie（rf，u，v）。例如：求高斯分布函数的傅里叶变换，程序如下：

>>symsftwxF

>>f=（1/sqr（t2*pi））*exp（-t.^2）

>>F=fourie（rf）

>>symsftwxF

>>f=sin（t）（/pi*t）

>>F=fourie（rf，t）

>>F=-（pi*heaviside（-t-1）-pi*heaviside（1-t））/pi

图5 傅里叶变换前后对照图

3 MATLAB求解拉普拉斯积分变换

拉普拉斯变换在物理、力学以及工程技术中都有很广泛的应用，基本格式是。例如：求单位阶跃函数的象函数。程序如下（图像如图6 所示）：

>>symsts

>>h=heaviside（t）

例如：求指数函数f（t）=4e2t，t>0的拉普拉斯变换，程序如下（图像如图7 所示）：

>>symstfFp

>>f=heaviside（t）*4*exp（2*t）;

图6 原函数h 的图像

图7 原函数f 的图像

本文研究了MATLAB在《复变函数与积分变换》中的典型应用，利用MATLAB简化繁琐的求解过程，并把求解结果用可视化、动态化的形式直观地表现出来，既能提高学生的学习兴趣，又有利于理解问题的本质以及解的意义。

［1］贺凯.MATLAB 在复变函数与积分变换中的应用［J］.沙洲职业工学院学报，2006，（9）.

［2］石博强，赵金.MATLAB 数学计算与工程分析范例教程［M］.北京：中国铁道出版社，2005：181-182.

［3］周梦，高宗升.现代数学基础［M］.北京：北京航空航天出版社，2008：55-57.