解繁琐一元二次方程的一个小技巧

卢丽丽

【内容摘要】本文通过苏教版数学九年级上册的第一章第4节《用一元二次方程解决问题》正义难点，教学中，通过不断研究我发现一个很好的解这类繁琐一元二次方程的一个小技巧（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的两个解易求。我们在这研究e≠0的情况。

【关键词】繁琐一元二次方程  技巧  苏教版

众所周知，苏教版数学九年级上册的第一章第4节《用一元二次方程解决问题》对于学生来说是个难题。在历年中考中基本上都有一个大题出现，对于很多学生来说，能列出方程已实属不易，可是这其中又有很多方程系数很大，不论是教师还是成绩好的学生遇到这样的方程都非常头疼。

教学中，通过不断研究，我发现一个很好的解这类繁琐一元二次方程的一个小技巧，当然并不是所有的题目都能用，但是我敢负责任的说百分之九十以上的题目都可以这样解。

这种方法一般来说适应于形如：（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的两个解易求。我们在这研究e≠0的情况。

下面我来介绍这种方法，它分为三种情况：

【情况1】（九上26页）问题4：龙湾风景区旅游信息：人数不超过30人，人均收费800元，超过30人，每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于500元，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定此次参加旅行的人数吗？

解：经过分析可知这次旅行的人数在30至60之间。我们可以设增加x人。

列方程为（30+x）（800-10x）=28000

整理为（30+x）（80-x）=2800

我们很容易想到40×70=2800，交换位置70×40=2800

当（30+x）（80-x）=40×70=2800 时，令30+x=40，此时x=10。

恰好80-x=80-10=70。故x1=10，

当（30+x）（80-x）=70×40=2800 时，令30+x=70，此时x=40。

恰好80-x=80-40=40。故x2=40

所以此方程解为x1=10，x2=40

能用这种解法的题目在书中频频出现。

如：九年级上册24页问题1：列出方程为x（11-x）=30，我们很容易想到5×6=30。通过上述方法易求出x1=5，x2=6。

再如九上27页练习题2：列出方程为x（50-x）=600，我们很容易想到20×30=600。通过上述方法易求出x1=20，x2=30。

还有其他题目在这我就不一一列举了。

【情况2】（九上25页）问题3：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施。假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多销售2件。如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？

解：设衬衫单价降了x元。

列方程为（20+2x）（40-x）=1250

先同时除以2得（10+x）（40-x）=625

对于625，我们最先想到的是25×25=625

如果10+x=25，x=15，此时40-x=40-15=25，所以x1=25，对于这种两个数相同的情况，方程的两个解一定是相等的，所以x1=x2=25

【情况3】一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是多少？

解：我们可以设原来菜地的长为x米，则宽为（x-2）米。

列方程为x（x-2）=120

我们很容易想到12×10和10×12，显然对于12×10，令x=12，x-2=10，满足方程，故x1=12。

对于10×12，令x=10，此时x（x-2）=10×8=80≠120，这时我们就试-10×（-12），容易验证这时可以，所以此方程的解为x1=12，x2=-10。

书中的题目如：九上25页练习1：列出方程为x（x-5）=150，这题我们尝试的是15×10=150和（-10）×（-15）= 150。通过上述方法易求出x1=15，x2= -10。

对于形如（ax+b）（cx+d）=e（a ≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程的解法技巧，我概括如下：如果很容易看出e=m×n，我们先令ax+b=m，解出x，代入cx+d，如果cx+d=n，此时x就是方程的一个解。（如果cx+d≠n，此时x就不是方程的一个解，仿照这种方法再尝试e的其它两个因数，如果连续尝试几次都不成功，那就老老实实的用公式法或是配方法吧）。

尝试时：若m=n，这个方程就有两个相等的根。若m≠n，再令ax+b=n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=m，此时x 就是方程的另一个解。如果cx+d≠n，这时我们尝试用e=-n×（-m），令ax+b= -n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=-m，此时x就是方程的另一个解。

笔者在上面已强调，并不是所有形如：（ax+b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程都可以用这种方法解题。但是可以大胆地说百分之九十以上的方程可以用此方法解。由于在用一元二次方程解决问题的题目时，列出方程后，只需要直接写出结果，不要求写出解方程的过程，所以我们可以用这种方法试一试，很容易就能够得出结果，而用公式法或是配方法没有三分钟或是更长时间是解决不了的，并且计算量很大，容易出错。在数学学习中，还有很多规律和技巧，只要我们不断探究其中规律，总结经验，我们的思路会打开，思维能力会增强，我们可以把复杂问题简单化。中考难题也就会变的简单的多。数学也就没有传说中的那么恐怖了。

（作者单位：江苏省徐州市开发区实验学校）endprint