如何挖掘课本习题的潜在功能

吴伟明

摘 要：：在新课程不断普及的过程中，高中数学教师所面临的任务也更加艰巨，为了能够帮助学生提高学习效率，开阔思维，轻松应对考试，教师应该从多个角度进行教学。

关键词：挖掘课本习题；潜在功能；高中数学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-245-01

对于高中学生来说，数学是一门非常关键的学科，它不仅仅是基础学科，同时也是开阔学生思维、实现其他各学科联系、贯通的工具学科，学好数学，学生的思维会更加活跃，逻辑感会更强，进而学生分析问题的能力以及理解能力都会提升，对于地理、政治以及历史这些学科之间的联系也会理解得更加深刻，从而在解题过程中也会游刃有余。这也是为什么很多数学学家，他们不仅仅是数学这一门学科有所成就，往往在化学、物理甚至是文学方面成就也很卓著的原因。数学是培养人们思维能力的学科，因此高中教师在进行教学的时候，应该注重培养学生从多个角度进行发散思维，从采用多种途径进行问题分析与挖掘，本文从课本习题潜的功能挖掘入手，分析如果利用课本习题，培养学生的分析能力，希望能够为高中数学教师这提供一些参考和帮助。

以此练习题：求过点P（4，3），同时截距在两坐标轴上相等的直线方程。为例子进行几点讨论。

一、引导学生多角度探讨问题的解法

引导学生从多个角度进行分析的思考，在数学练习中非常重要，数学习题的解题方法往往不只一种，教师应该教会学生这样的思维方法，这样在做题的时候，一种方法行不通，同学们还以从另外一个角度入手，这大大增加了成功几率，同时也锻炼了学生分析问题的能力。

分析1：本练习题中的直线在两坐标轴上有截距，那么可知，此直线与坐标轴不是相互垂直的关系，这个时候斜率存在，可设为k，同时k≠0.那么该直线方程就可表示为：

y-3=k（x-4）

令x=0，那么y=-4k+3；令y=0，那么x=4-3/k

由题设可得-4k+3=4-3/k，那么k=-1或k=1/2

由此可知，该直线方程为y-3=-1（x-4）或y-3=1/2（x-4）

也就是x+y-7=0，x+2y+2=0.

分析2：从题意开设在两条直线x，y上的截距为a，如果a为0，那么求直线必然经过点（0，0），同时也会经过点（4，3），那么直线方程可表示为：

y=3x/4或3x-4y=0.

那么如果a≠0，那么所求直线可表示为：

x/a+y/a=1，而题意可知，该直线经过点（4，3），将其带入方程x/a+y/a=1中，可得：

a=7，因此，直线方程表示为：x+y-7=0，x+2y+2=0.

二、改变问题的条件，引导学生进行发散思维

数学命题中条件与结论是不可分割的，教师应该适当的对题目的条件进行变化，合理的进行知识的拓展，由一道学生熟悉的题目开始，加上一个条件或者多个条件，使其变成一个新的命题，然后从中找到规律，培养学生的思维拓展能力、逻辑思维能力以及发散思维能力。

如果将本题目中的“截距相等”，改为“与两坐标轴正半轴围成的面积为32”，那么就可得出以下命题：

求过点（4，3），并且与两坐标轴正半轴所围成的三角形面积为32的直线l的方程。

分析1：由题目可设直线l的方程式为x/a+y/b=1（a>0，b>0），又因为直线l经过点（4，3），因此可得：

4/a+3/b=1，也就是3a+4b=ab①

又题意可知三角形面积32，根据三角形面积公式S=1/2a×h可得：

1/2ab=32，ab=64②

所以，又①，②可求得a=16，b=4.

因此，直线克表示为x/16+y/4=1，也就是x+4y-16=0.

分析2：设所求直线l的方程表示为y-3=k（x-4），其中K<0，该直线与坐标轴的交点为A=（4-3/k，0），B（0，3-4k），题意可知三角形面积为32。

所以：S=1/2a×h=1/2∣4-3/k∣·∣3-4k∣=32，也就是（4k-3）2=-64k.

又因为其中K<0，所以，k=-1/4.

所求直線l方程可表示为x+4y-16=0.

三、引导学生总结问题的共性，能够举一反三

讲条件中之间所经过的点（4，3）改为（3，2），并且将“Y轴”改成“直线Y=4x”，那么这样一来，就有了新的命题已知点P（3，2），直线l1：y=4x，直线l过点P且与直线l1交于第一象限内点Q，与x轴正半轴交于点M，求使ΔOQM面积最小的直线l的方程，经过分析采用分割发较为简单。

如图1，作BP∥x轴交直线l1：y=4x于点B，作PA∥OQ交x轴于点A，则点B（2，2），∣BP∣=∣OA∣=1.因此平行四边形OAPB的面积=1×2=2（定值）.设点Q到BP的距离为m，∣AM∣=2.

图一

所以SΔOQM=2+1/2（m+2n）≧2+√2mn=4.当且仅当m=2n时等号成立，此时m=2，n=1，则M（4，0），所求直线方程为2x+y-8=0.

由此可见，一道简单的数学课本练习题，可以引伸出很多解法，教师应该灵活运用这些课本习题，从课本出发，训练学生的解题能力以及思维能力，这样才能够真正打好基础，激发学生的学习热情。

本文一课本上一道数学联系为例，对如何挖掘数学练习题的潜在价值进行了分析，碍于篇幅有限，只作了三个，高中数学教师应该根据课堂实际情况以及自己的经验，灵活的运用课本习题，随时进行变化，从不同角度训练学生的思维能力，解题能力。提高学生对于学生学科兴趣，提高学生成绩。

参考文献：

[1] 戴素琴.高中数学习题课教学的课堂研究[D].上海师范大学2012

[2] 史卫林.高中数学习题使用及其功能的研究[D].河北师范大学2012

[3] 贾蒙龙.提升高中数学习题课教学效率的实践研究[D].内蒙古师范大学2013