股票价格服从指数O—U过程的复合期权定价方法探析

许聪聪　王建锋

摘 要 为探讨欧式复合期权的定价方法，假设股票价格服从指数Ornstein-Uhlenback （O-U）过程，且所有参数均为相依于时间的函数，利用保险精算和等价鞅测度两种方法对欧式复合期权进行定价，得到了两种不同方法下的欧式复合期权的定价公式，并讨论了两者之间的关系.证明了在指数O-U 过程模型下保险精算定价是一种有套利定价，从而进一步推广了Geske的结论.

关键词 复合期权；指数O-U过程；保险精算定价；鞅定价

中图分类号 O211.6；F830.9 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2014）03-0074-06

期权定价是现代金融数学研究领域的主要内容之一，1973 Black-Scholes在股票价格服从几何布朗运动的假设下，推导出了著名的Black-Scholes公式（B-S公式）.由于B-S公式是建立在一系列的假设的基础上的，如标的资产服从几何正态分布，不支付红并且所有参数都为常数等，随后很多人对B-S公式作了相应的推广[2-4].复合期权是一种标的期权的新型期权.最早Geske[5]利用微分方程方法计算出了复合期权的定价公式，Selby 和Hodges [6]以及李荣华[7]利用鞅方法分别得到了参数为常数以及参数为依赖于时间函数的复合期权定价.王献东[8]利用鞅方法得到了股票价格服从跳-扩散过程的复合期权定价.

上述期权定价方法都是建立在金融市场是完备的，无套利的基础上.实际金融市场上这些条件往往并不满足，1998年Bladt和Rydberg[9]利用保险精算方法把期权定价问题转化为公平保费问题，在没有任何市场假设的条件下推导出了期权定价公式.这种方法不但适用于无套利、均衡和完备的市场模型，对有套利、不均衡和不完备的金融市场仍然有效.闫海峰[10]利用保险精算方法推导出了股票价格服从指数O-U过程的欧式期权定价.刘坚[11]利用保险精算定价方法推到出了随机利率下和O-U过程模型下欧式期权和欧式交换期权的定价结果.毕学慧[12] 利用保险精算方法推导出了股票价格服从几何布朗运动的欧式复合期权定价模型.股票价格服从O-U过程避免了传统对数正态分布中股价有朝同一方向变化的局限， 对股价上升的趋势进行了削弱.本文假设股票价格服从指数O-U过程，且参数都是依赖于时间的确定函数，利用保险精算和鞅方法两种方法对复合期权进行定价，结果发现保险精算定价是有套利定价，而鞅定价无套利.

1 基本假设

考虑一个连续时间的无摩擦的金融市场，假设市场有两种资产，一种为无风险资产，如债券；另一种为风险资产，如股票.假设风险资产（股票）价格股票价格St服从广义指数O-U过程：

dSt=St[（μt-αlnSt）dt+σtdWt]， S0=S.（1）

债券价格Pt满足方程：

dPt=Ptrtdt， PT=1，（2）

其中S>0， （Wt）t∈[0，T] 是定义在概率空间（F， {Ft}t>0， P）的标准布朗运动，α 为常数， μt和 σt分别为股票的预期收益率和波动率，rt是t时刻Pt瞬时利率， μt，rt，σt是[0，∞）→R 上的函数，且满足

定义1[9] 股票价格过程{St， 0 ≤ t ≤ T}在[0，T]上产生的瞬时期望收益率∫t0βsds被定义为

其中，βt 为股票在t时刻的瞬时收益率，假设βt是[0，T]上的实值可测函数 .

引理 1 若股票价格S（t）服从广义指数O-U过程，则

2 主要结果

复合期权是一种期权的期权，给予了持有者在某一约定日期（t=T1 ）以约定价格买入（卖出）一份在日后t=T2 （T2>T1 ）到期实施敲定价格为K的 看涨（看跌）的权利.因此，复合期权有两个执行价格和两个到期日，由于受两个到期日的影响，一个是复合期权的到期日；另一个是标的期权到期日.复合期权有4种类型：

（1）在t=T1 时刻购买 看涨期权的期权（call option on a call option），记为CC；

（2）在t=T1 时刻购买 看跌期权的期权（call option on a put option），记为CP；

（3）在t=T1时刻出售 看涨期权的期权（put option on a call option），记为PC；

（4）在t=T1时刻出售 看跌期权的期权（put option on a put option），记为PP.

这里有3种风险资产：原生资产（如股票），原生期权（如股票期权）和复合期权.首先在区域

∑2={0≤S<∞，0≤t≤T2} 上定义原生期权的价格，然后在区域∑1={0≤S<∞，0≤t≤T1}上建立复合期权CC（S， t），CP（S， t），PC（S， t） 及PP（S， t）.

2.1 欧式复合期权的保险精算定价

定义2 股票价格 {St， t≥0}服从指数O-U过程（1），欧式看涨期权的看涨期权在t=0时刻的价格CC（S，0）为

注1 由于模型（1）中的项αlnSt，使得股票在t时刻的瞬时收益率βt 计算较为复杂，当α = 0，股票价格服从几何布朗运动，此时βt=μt，定理1即为文献[12]结果.

2.2 欧式复合期权的鞅定价

引理4 假设股票价格 {St， t ≥ 0} 服从广义指数O-U过程（1） ，令

θt = μt -rt -αlnt σt .（13）

若Ep[exp（12∫t0θ2sds）]<∞， 则存在唯一等价鞅测度Q ， 满足Radon-Nikodyn导数：

dQdPFT=exp{-12∫T0θ2tdt-∫T0θtdBt}，

使得在测度Q 下折现过程S*t是鞅过程S*tStexp{-∫t0rsds}，令WQt=∫t0θsds+Wt，则由Girsanov定理可知，在概率测度Q下，WQ（t）是一个Brown运动，并且

ST=Stexp{∫Tt（rs-12σ2s）ds+∫TtσsdWQs}. （14）

引理4可由Girsanov定理和鞅表示定理证明，由期权定价鞅方法可得如下定理.

定理2 股票价格服从指数O-U过程（1），四种不同欧式复合期权在t=0时刻的鞅定价为

注2 当α = 0时，股票价格服从几何布朗运动，定理2是文献[7]中的结果；在α = 0，且其他所有参数都为常数时，定理2即为文献[5]中结果.

注3 由定理1与定理2结果可以发现，保险精算定价不但和股票波动率σt 有关，还与股票期望收益率μt 以及收益率的漂移项α有关；鞅定价只与股票的波动率有关系，与股票的期望收益率无关.由于等价鞅测度存在且唯一，所以期权有唯一的无套利定价，因此保险精算定价实质上是有套利定价.当 βt=rt时，复合期权的价格为风险中性价格，是独立于每个人的投资偏好的，此时定理 1的结论就是定理2的结论.

3 结束语

本文在假设股票价格服从指数O-U过程且参数都为时间确定函数的条件下，利用保险精算和鞅两种方法，得到了欧式复合期权的定价公式，推广了文献[5，7，12]的结果.另外，对两种定价方法下的结果进行了比较.结果发现，指数O-U过程模型下，复合期权的鞅定价是无套利的，而保险精算定价是有套利定价.

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[12] 毕学慧， 杜雪樵. 复合期权的保险精算定价[J]. 合肥工业大学学报：自然科学版， 2008，31（9）：1343-1346.

[13] 胡素敏， 胡电喜. 基于分数跳扩散过程的幂期权定价[J]. 湖南师范大学自然科学学报， 2012，35（7）：14-17.

（编辑 胡文杰）