提高数学能力学生需具备的几种意识

（江苏省震泽中学215000）

提高数学能力学生需具备的几种意识

曹 菊

（江苏省震泽中学215000）

数学的教学活动不在于为学生提供了、设计了或是解决了多少数学问题，而在于是否激发了学生的学习兴趣、提高了学习能力，增强了创新意识。高中学生的数学能力是以扎实的基础知识和基本技能为基础的，教材中所规定的基本知识和基本技能，是继续学习和发展的重要基础和必备知识，因此，教师必须首先培养学生掌握扎实的数学基础知识和基本技能，因为知识量越大，则联想、类比、想象的空间就越广，从而产生新思想、新方法的机会就越多。要提高学生数学能力，必须先培养学生形成以下几种意识。

一、善于提问的意识

爱因斯坦曾经指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”美国著名数学家波利亚认为：“对自己提出问题是解决问题的开始。”因为从思维的形式看，提出一个问题是开放的思维形式，相比较而言，解决一个问题是收敛的思维形式。从数学学习来看，提出一个问题属于数学研究的思维领域，而解决一个问题属于数学解题的方法范畴。因此提出一个数学问题，特别是能够提出一个内涵深刻、价值较高的数学问题，往往比解决一个数学问题难得多。

而现在的学生学习比较被动，满足于上课听讲下课做题，缺少主动探究的动力，缺乏一种发现问题并有愿望解决它的意识。因此，在教学中，教师应注重鼓励和引导学生提问题、特别是提有价值的问题。当然，一开始肯定是教师提问并做好示范指导，不断要求学生也尝试提问，在教师的不断“逼迫”下，学生由开始时的被动的提问，慢慢变为积极主动的提问。学生在不断经历提问的过程中，问题意识会明显增强，提问水平也会不断提高，逐步变学生“不问”到“敢问、善问”，直到后来能提出有创造性的问题。不仅仅是在课上课后向教师提问解题的思维过程，可能的方法，需要注意的方面等，还应当让学生学着向自己提问，引导学生从实际问题中抽象出数学问题，从问题中再发现问题，多考虑问题的逆命题，命题条件的加强与放宽，命题结论的加强与放宽，命题的泛化与特殊化等，让学生在善于提问中提高自身的数学能力。

二、解题求简的意识

“繁”与“简”是在解题教学中经常发生冲突的一对矛盾。绝大部分题目的解答都不只一种方法，而不同的解法，会产生完全不同的效果，有人“山穷水复疑无路”，却也有人“柳暗花明”到了“又一村”，不但解题方法精简巧妙，对思维也有很大启发。我们倡导学生广开思路，再将各种不同的思路进行对比分析，择优选择，这样有利于开阔视野，升华认知。数学上虽有很多题可用多种方法来解决，但我们最好还是能选择最简便的方法，因为简便方法不仅简洁明了，容易接受，省去繁琐的过程，减少错误发生的可能，更可节省时间。可在具体解题时并不是所有学生都能很快想到最简最佳的方法，即使有些简单的题很多学生都能想到，仍然会有个别学生可能绕远路了，也即简题繁解。学生经常会出现因方法不当而造成解题烦琐。究其原因，主要是缺乏与解题信息相关的众多数学能力和意识。因此，如何减少这种烦琐的解题过程，培养学生的求简意识，是数学解题教学中一个十分重要的问题。

要培养学生的求简意识，可以从以下几个方面入手：①对概念的理解要深刻：求简意识经常是建立在对概念深刻理解的基础上的，只有深刻理解数学概念的本质，才能灵活运用它来简化解题过程。②对思维的运用要灵活：有些数学问题正面求解比较困难，即使绞尽脑汁也难以奏效，这时教师若能引导学生使用逆向思维，反其道而求之，则往往可使问题迎刃而解。③对实质的把握要整体：有些数学问题，从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从整体上去把握，处理这些量之间的关系，则思路更简洁，解法更巧妙。④对问题的转化要等价：用运动、变化、联系、发展的观点来看待问题，把问题转化成我们熟悉的或者容易解决的新问题，以达到化繁为简、化难为易的目的。⑤对数式的研究要借形：数形结合虽不能保证数学问题总能得到解决，但它在大多数情况下能够使数学问题得到较好的解决，尤其是在复杂情况中能起到良好的直观作用，给解题带来意料不到的简便。

学生如果养成了求简意识，就能自觉地去分析题目中的条件和特征，捕捉题目中的重要信息，多角度、多层次地去探索解题思路，简化解题过程。

三、融会贯通的意识

近年来的数学高考的一个显著的特点就是在“知识的交汇处命题”，当然，“交汇”不仅仅指的是知识与技能，而且也应包括思维品质、意志品质等多种因素的交汇。试卷中许多试题十分注重能力的考查，既注意了章内知识的纵向发展，又注意了不同章节知识之间的综合交汇，以考查综合处理问题的能力，突出对重点内容、核心考点的考查，如：导数与函数、数列、不等式、三角、立几、解几等主干知识每年都是多次考查。对这些主干知识应该加大复习力度，在训练的同时，要进行数学知识的归纳和解题方法的总结。除此之外，把握纵横联系，构建知识网络，比如关注三角与向量、解析几何与向量、数列与解析几何、数列与不等式、概率与方程、函数导数与不等式、函数与数列、立体几何与方程等各个知识点的融合。知识技能只有构建成网络系统，并时刻处于待命状态，才能发挥出它的整体功能，在解决问题时才能以整个系统为后盾，进行自然、自动、迅速、有效的检索，提取相关的知识和技能，从而更好地解题。

课本中的某些例题、习题，并不是孤立的，而是前后联系、密切相关的，有时其他学科的知识也和数学有着千丝万缕的联系，我们要学会去发现、研究和展示这些知识的内在联系，这样做不仅有助于自己深刻理解课本知识，有利于强化知识重点，更重要的是能有效地促进自己数学知识网络和方法体系的构建，使知识和能力产生良性迁移，达到触类旁通的效果。因此应该切实领会教材中的基本解题思想和方法，注重通性通法。应立足课本，激活已学过的各个知识点；经常回归教材，回顾基本概念、性质、公式、定理等；要有计划地对基础知识进行必要的分类整合；要重视并着重加强通性通法的训练和运用，要把知识点与方法对号入座，不要盲目追求解题技巧。

高考数学题的命题不仅仅是以知识为中心，更是以问题为中心设计的。题目的设计思想常常定位在知识与知识之间的联系，代数、几何、三角的相互渗透，以及各类知识与技能的综合应用上。这就要求我们在教学中应该强调知识的系统性和完整性，并且学会归纳总结知识点和常用的基本方法，了解数学各部分知识之间的联系与转化。一份综合试卷中知识点多，注重综合交叉，重视内在融合。因此我们在平时练习时应有选择的、有意识的、有机的将各个知识点组合起来，让学生能够从一种多元的视角，融会贯通，发展综合能力。

因此，通过探究课本典型例题、习题的内在联系，让我们在深刻理解课本知识的同时，更有效地形成知识网络与方法体系。构建网络系统，是贯穿于整个教学和学习始终的一项系统工程，不可能一蹴而就，其中的重点内容更需要在不断地应用、归纳、整合、反思中反复强化。

四、优化思维的意识

数学是训练学生思维的体操，数学思维是以数和形为思维对象，以数学语言为载体，以认识和发展数学规律为目的的一种思维活动，是由形象思维、演绎思维、类比思维、直觉思维和函数思维等思维成分构成的一个综合体。高中数学学习相对于初中来说有着质的飞跃。而数学知识体系的综合性特点要求学生必须具备一定的基础知识和基本技能，其思维品质要有一定的广度和深度。高中数学教学的关键就是让学生在解决具体数学问题时学会思考，会由未知向已知、复杂向简单转化，从而快速准确地解题。

我们经常会碰到这样的问题：课上讲题时学生理解得很“明白”，可到考试时学生自己解题就往往会处出现思维短路，教师分析完毕，学生又“恍然大悟”。学生存在的问题不是解答结果本身太难以致学生无法理解，而是学生无法找到通向结果的思路。思路不畅说明思维不完善。思维方法一直是高考考查的重点，有时即使是填空题，也需要考生以简缩思维，直觉猜想，归纳验证等思维方法才能解决。而学生在思维方面还不够完善，知识点之间纵向横向的联系，能力的交叉融合较为欠缺，不善于将复杂问题转化为简单问题，不习惯从陌生问题中分离出熟悉的问题。

教师在教学中要十分重视思维的训练，数学思维力求近似到一种非条件反射，比如吃饭自然就要拿筷子和碗，而不需刻意去记着吃饭就要有筷子有碗。解题方法和规律的概括凝结着数学思想方法，也对学生思维提出较高的要求，具体应该有。

（一）谨防陷阱漏洞，训练思维的严密性

考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误，周到细致的考虑问题的各种可能情况，谨防各种漏洞。不漏条件，不看错题，充分利用题设，注意条件和结论的变形和引申，使条件与结论产生必然的联系。

（二）鼓励大胆质疑，训练思维的批判性

在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信、不唯上、不唯书、不迷信权威，敢于向人们司空见惯或认为完满无缺的事物提出怀疑。在解决问题时能打破“自我框框”，想出新颖独特解法，能及时反思，不断地验证所拟定的假设，能评价解题思路的正误与优劣。

（三）倡导一题多解，训练思维的广阔性

通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，在一定程度上开阔学生的解题思路，克服思维单一、狭窄，提高数学思维的广阔性。

（四）加强变式训练，训练思维的变通性

为了使学生的原有认知结构得到延伸和扩展，在教学中教师还要围绕难点、重点或疑点，从不同角度，善于引导学生运用一题多变，把一些题的已知条件和结论作适当的改变，加以引申、推广，得出新的题目，使学生不但学会了一道题的解法，而且学会了一组题、一类题的解法，这样有利于学生对基础知识的纵横联系和沟通，巩固所学知识，在数学教学中恰当地适时地运用一题多问、一题多变、多角度、多方向的思考，使学生能举一反三，能以不变应万变，更容易诱发和培养学生的创新思维的能力。

（五）突破常规解法，训练思维的独创性运用非常规解法，如直觉猜想、数形结合、特殊值等方法，可以将结果较快地猜想或推算出来，然后再进行验证。

（六）运用矛盾冲突，训练思维的辩证性

“对”与“错”是数学教学中最常见的一对矛盾冲突，教师可将学生的错误当作一种教学资源，抓住契机，巧妙地利用“对”与“错”的矛盾冲突，进行深入的讨论、争论、辨析、寻根、纠正，对辨误纠错的教学活动也可以成为优化学生思维品质的良机。

五、回顾学习的意识

美国数学家波利亚说过：“掌握数学就是意味着善于解题。”他把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾四个步骤，在这四个步骤中，回顾这一重要环节常被忽视。学生不善于回顾反思，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，致使掌握知识的系统性较弱、结构性较差，解题能力得不到提高。为了提高学生的数学学习效率，必须培养学生的回顾反思意识，使他们有时间、有机会对自己的解题过程进行重新审视。主要可以从以下几个方面来回顾：1．回顾解题思路：此题已知哪些条件，求解什么，条件与求解的关系如何，考查的是哪些知识点，有效突破口是什么，思路有没有问题等。2．回顾解题过程：解题过程中遇到了什么问题，为何求解这么艰难，有没有隐含的条件忽略了等。3．回顾解题方法：此类题的常规方法和特殊方法一般有哪些，选取的方法对吗，有没有其他方法，是不是最佳最简方法等。4．回顾出错原因：对知识理解是否有偏差，或由于思维受阻无法继续，或用了繁琐的方法以致走进死胡同，或没有找到可以等价替换的式子以致走了弯路，或中间分情况讨论时漏掉某一环节，或是重复计算等。

解题的目的并不单纯为了求得问题的结果，而是通过解题能培养学生独立思考的精神，提高学生分析问题解决问题的能力，并能够从相关的题中注意归纳总结，找出规律，举一反三。而这恰恰主要通过回顾解题的教学来实现。因此在数学教学中要十分重视解题的回顾，教师应经常与学生一起对解题的过程和方法进行细致分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，以使学生真正提升自己。

学生的逻辑能力、思辨能力、归纳能力等不是一下就能提高的，需要教师不断地引导锻炼，除了上面所提及的几种意识，还有其他方面，限于篇幅，不一一赘述。总之，教师应该结合学生自身特点，引导学生寻找最佳学习方法，学生才能更好地学好数学。

[1]魏仁洪．论中学生数学创新性思维及其培养[D]华中师范大学，2002．

[2]孔胜涛．在数学解题教学中如何培养学生的求简意识[J]．数学教学通讯：教师版，2012．

[3]姚纲．高中数学学习中要学会融会贯通[J]．试题与研究：新课程论坛，2013．

[4]潘文娟．数学解题与学生反思意识的培养[J]．数学教学通讯：教师版，2012．

（责编 田彩霞）