高中数学“数列与差分”教学研究

2015-07-12张彦文内蒙古赤峰市克什克腾旗职业技术教育中心学校

科学中国人 2015年20期

关键词：高中数学研究教学

张彦文内蒙古赤峰市克什克腾旗职业技术教育中心学校

高中数学“数列与差分”教学研究

张彦文
内蒙古赤峰市克什克腾旗职业技术教育中心学校

摘要：在高中数学教学过程中，数列与差分方面的知识学习时，仅凭学生的一腔热情、积极性是不够的，更重要的是完整、高效的学习方法和教学体系，因此对高中数学老师提出了更高的要求。本文将对高中数学数列与差分教学方法进行研究，以供参考。

关键词：高中数学；数列与差分；教学；研究

在高中数学教学过程中，其难点在于难以统一学生的学习水平，即高中阶段的数学教学实践中，代课老师无法完全了解和把握学生们的学生的接受和学习能力。实践中，因每一个学生的自身条件、学习兴趣程度等，都存在着一定的差别，所以选择的数学方法差异性也就会非常的大。本文就高中数学教学过程中的“数列和差分”教学，提出以下措施。

1、数列与差分概述

第一，差分定义。对于差分而言，较之于数列而言，第n+1项、第n项之间的差是多少？可用an=an+1-an这一公式，对第n项的差分进行表示；通常将数列中后一项、前一项之间的差值，称为是差分。比如，an=an+1-an所代表的是数列第n项的一阶差分。差分表示2an上的数字2，则代表的是差分次数，这里所讲的差分说明是2次，即差分算子利用了两次。在每一次差分运算完成后，便会形成一个新的差分数列，两次之后便形成了{2an}，以此类推，即可对三阶、四阶差分进行定义。

第二，数列与差分通项之间的关系。在研究二者通项关系时，通过举例方式进行辨识。比如，数列{an} = {2，3，4，5，6}时，则其一阶差分（Δan）即为{1，2，3，4}。通过一阶差分构成一个新的数列，而且其项数应当比前面的数列少一项。若为常数列，则数列的一阶差分项数均为0；数列{an} = {-1，3，7，11，15，19}时，则其一阶差分（Δan）即为{4，4，4，4，4 }，即常数列；数列通项an=4n-5，代表的是线性函数。由此也可以得出一个结论，即一次线性函数的一阶差分为常数列。数列{an} = {3，3，5，9，15，23}时，一阶差分（Δan）为{0，2，4，6，8}；二阶差分（Δ2an）为{2，2，2，2}，即为常数列，其通项an= n2-3n+5（二次函数）。由此可见，当{an}是利用二次函数进行定义时，二阶差分即为常数列；当数列{an} = {3，9，27，81，243，729，2187}时，一阶差分（Δan）为{6，18，54，162，486，1458}、二阶差分（Δ2an）= {12，36，108，324，972}，均非常数列，但均为公比等于3的等比数列。由此可以得到一个结论，数列{an}由指数函数定义时，一阶差分、二阶差分，均以该指数函数底数作为公比，构成一个等比数列。就差分与数列之间的关系而言，一阶差分描述的是数列增减和数列极值，二阶差分则是对数列图形凸凹形状进行描述。

2、高中数学中的数列与差分教学实践

为了对高中阶段的数列与差分教学问题进行研究，本文以待定系数法求解差分方程为例，进行具体的分析。实践中，对待定系数法求解差分方程、求解常微分方程进行对比可知，其在求解非齐次线性差分方程过程中应用效果非常的好。利用待定系数法对差分方程进行求解，主要是基于方程具体特点，假设一般模式方程，并且根据其中的具体条件，找特定解代入方程求出系数。

第一，当K≠1时，可用xn+1=kxn+b代表一阶非齐次差分方程，其特解xn=A，其中A代表的是待定系数；将xn=A代入上式，即A= kA+b，A=b/（1-k），由此可得xn=b/（1-k），一阶非齐次差分方程求解可得xn=knc+ b/（1-k），（其中c可以是任意一个常数）。

第二，当k=1时，xn+1=xn+b的一阶差分是一个常数，设xn=An之特解，然后代入上式，原方程为A（n+1）=An+b，即A=b，xn=bn，其通解是xn=knc+ bn=c+bn（其中c可以是任意一个常数）。

比如，某教室是用来做物理实验室的，在安排座位时，每后一排均比前排座位数量多出2个，已知首排的座位数量为30，问题：如果用yn来表示教室内的第n排座位数量，那么求yn+1、yn的表达式；求第9排共有几个座位？若用Sn代表第n排之前的所有座位数量，Sn+1、Sn代表的意思是什么：关系表示又是怎么样的？若教室内共有二十排座位，求一共可容纳多少人？解：yn+1=yn+2（n=1，2…）；由已知可得，k=1，b=2，yn=2n+c，其中c为任意一个常数，因为y1=30，带入上式可得c=28，yn=2n+28，y9=46；Sn+1=Sn+ yn+1= Sn+2（n+1）+28，Sn+1= Sn+30（n=1，2…）；由Sn+1-Sn= 2n+ 30，数列Sn一阶差分可知，Sn的表达式为二次函数，将二次函数设为Sn=An2+Bn+C，Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C=2An+A+B=2n+30，即A=1，B=29，y1=30=S1，30=A+B+C，即Sn=n2+29n（n=1，2…），最后可得S20=980.