习题讲评讲在关键处才能讲出真风采

陈国伟

美国数学家哈尔莫斯指出：“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏.”习题讲评则正是基于完善学生对数学解题认识的教学，是数学教学中的一个重要内容.然而在这个过程中，仅就题论题者有之，讲题面面俱到者有之，对错题简单订正者有之，却缺乏引导学生对错题的成因分析，缺乏对通性、通法的强调，缺乏师生互动的探究及对解题的反思感悟.众所周知，认识是一个过程，而不是一种产品，知识并不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境，即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过有意义建构的方式而获取的.因此习题讲评课中，教师应关注学生的错误成因，发现学生解题错误的关键所在，讲评应讲在关键处，适当的关键处的点拨胜过教师千万次的重复强调.本文结合具体实例探究如何在关键处点拨，以期抛砖引玉.

一、讲在思维缺陷处

鉴于学生的认知水平，学生在认识问题的过程中具有一定的局限性，这种局限性往往体现为其自身认知的缺陷.因而习题讲评课应是针对学生思维缺陷处的讲评，是学生对未能掌握的知识、方法的再认识的重要环节，教师不能只注重对错题“量”的完成和正确结论的给出，而是要注重对学生错题的成因分析，深入了解学生的思维缺陷，积极有效地引导学生对错题“质”的解析，完善其思维缺陷.

例1  已知m∈R且m≠0，直线l：mx-（m2-1）y=4m，圆C：x2+y2-8x+4y+16=0，则直线l与圆C相交所得弦长的取值范围是            .

由于解题经验，学生会马上发现直线l恒过定点（4，0）且该点在圆C上，便直接得出弦长的取值范围是[0，4].显然学生在解答过程中忽略了直线l的斜率范围，因为k=，m∈R且m≠0，所以k=，又由m+≥2或m+≤-2，得k∈[-，0）∪（0，]，如图1可得弦长的取值范围是（0，].这种错误正是由于学生的解题往往过多地依赖于模仿记忆，而缺乏对问题的本质分析，事实上教材《普通高中课程标准试验教科书数学A版必修2》在“直线的倾斜角与斜率”这一节起始课中明确指出：“确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.”可见，习题讲评课中应及时关注学生的思维缺陷，通过引导学生回归课本，再次经历概念的产生和发展过程，弥补缺陷.

二、讲在思维起点处

解题能力表现在发现问题、分析问题、解决问题的敏锐性、洞察力与整体把握.其重要成分是三种基本的数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），核心是能否掌握正确的思维方法[1].思维能力是数学能力的核心，数学教学的主要任务是培养学生的思维能力，然而学生往往满足于一得之见，不去思考“为什么可以这样做”的道理，影响思维能力的提高[2].由此，习题讲评应及时启发学生的思考，在学生的思维起点处设问，逐步将学生的思维引入到更高的层次.

例2  已知函数f（x）=xx-a-b，a，b∈R.当x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立，求实数b的取值范围（结果用a表示）.

带有绝对值的二次函数是一类特殊而又重要的函数，它的特殊性在于绝对值的“取正”功能，可以将任意的二次函数进行分段，从而形成了纷繁复杂的函数问题，充分考查了学生的数形结合以及分类讨论的能力，是高考命题的“宠儿”.由于函数f（x）=xx-a-b=x2-ax-b，x≥a，

-x2+ax-b，x

引例1  请作出下列函数的图象：（1）f（x）=xx;（2）f（x）=xx-2;（3）f（x）=xx+2并指出其单调性.

引例2  请作出函数f（x）=xx-a（a>0）的图象，并讨论若f（x）在x∈[0，1]上单调递增，求实数的取值范围.

引例3  请作出函数f（x）=xx-a（a∈R）的图象，并讨论若f（x）在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围.

将函数f（x）=xx-a-b的分类讨论还原到学生思维的起点，通过引例1中3个不同的函数让学生体会函数的图象和绝对值内的不同实数的对应关系，然后借助函数的一般式f（x）=xx-a，从a>0逐步推进，并引导学生最终解决该问题.如此，学生不仅能顺利解决该题，还能再次体会从特殊到一般的认识问题的一般规律，一举多得.

三、讲在思维提升处

实践是掌握知识的最佳途径，对于上述例2，学生已经经历了问题从特殊到一般的演绎经历，其心理认知已形成一定的系统收获，但这并不意味着学生已经彻底掌握了对此类题型的分类讨论.教师要顺势利导，通过变式训练及时引导学生从不同的角度探究解决此类问题的一般方法，及时对习题加以凝练提升，力争让学生“懂”一题，“会”一类，力促学生开阔视野，深化认知.

例3  已知a∈R，设函数f（x）=xx-a-x.

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间;

（2）当a≤1时，对于任意的x∈[0，t]，不等式-1≤f（x）≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值.

通过相似而不雷同的变式训练，让学生再次领会解绝对值问题的分类讨论原则，无疑会让学生的思维进行再次的突破，巩固其前阶段的思维成果，有效克服了被动听课时知其然而不知其所以然的现象，是防止学生浅尝辄止、似是而非的有效训练[2].

四、讲在思维链接处endprint

很多学生解题的错误源于对问题的转化不熟悉，然而经过老师简单的提醒或点评，学生马上就能明确解题的关键并能顺利地完成解答，但是当学生下次碰到此类问题时，学生却又不会解决了.这种现象我们在教学中屡见不鲜，但无论教师怎么讲解，结果还是会“被遗忘”.究其原因，还在于我们忽略了“学习的最好途径是自己去发现”的事实，习题讲评课应致力于帮助学生自主完成不同问题间的思维链接，积极引导学生自主探寻问题与问题之间本质的联系，让学生能够理解并掌握分析、解决问题的过程，并促使其将这种思维方式内化为自己的思维特质.

例4  若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是             .

本题涉及基本不等式的应用、恒成立问题的求解，考查学生换元、等价转化等思维能力，但由于题中涉及到x，y，a三个变量，大部分学生根本是无从下手，然而我们如果将该题进行分解，则可变为如下两个问题：（1）若正实数x，y满足x+2y+4xy，求xy的取值范围;（2）若不等式（2t-2）a2+a+t-17≥0在t∈[2，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.结果大部分同学都能将这两个问题顺利地求解出来.但教学不能仅限于此，因为这仅仅是教师的解题思维，如果就此打住，学生仍只是解题的看客而已.为此，笔者设计了如下问题进行引导，以期让学生能自主发现并解决问题，锻炼学生的思维链接能力.

问题1  已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值为           .x+y的取值范围是           .

问题2  已知实数x，y满足x2+y2=1，则x+y+xy的最大值为           .

问题3  若不等式（x+y）+2xy-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是            .

教是为了不教，想要掌握一件事物的结构，首先就要将许多别的东西与它有意义地联系起来，然后用“再发现”的方式去理解它，简单地说就是学习事物是怎样相互关联的.显然上述教学过程并没有直接对例4进行解答，但是学生通过对上述问题的思考，环环相扣，水到渠成，这为学生掌握此类题型提供了直观的效果，让学生对此类问题有了更新的理解，换元思想呼之欲出，最终学生均能独立地解决例4这一题.

五、讲在思维创新处

例5  如图2，已知平面α垂直平面β，A，B是平面α与平面β交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值为（    ）

（A） 6    （B） 12    （C） 24    （D） 36

学生基本解题策略如下：由题意PB=2PA，设PA=x，则2

探究1  动点P到两个定点A，B的距离关系PB=λPA的几何意义是什么？

探究2  若PB=λPA（λ≠1），则点P的轨迹方程是什么？

探究3  若PB=λPA（λ≠1），则点P的轨迹是圆，这个圆有一个特殊的名字叫“阿波罗尼斯圆”，大家能快速求出上题中圆的方程吗？

探究4  请大家快速判断上题中的△PAB面积的最大值.

显然，笔者通过不断设问，将学生的思维从三角形问题带入到轨迹问题的求解，形成了解题的“创新”，这对培养和巩固学生的创新思维有极大的裨益.

六、讲在思维提炼处

布鲁纳指出：“学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构.”他还强调：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.”因此，习题讲评课中教师对学生解题思维修正后，还要关注学生的后续解题能力的发展.知识在不断地扩充，问题也在不断地更新，例5中“阿波罗尼斯圆”的解法对学生来说完全是“新瓶装新酒”，如果就题论题，课堂会成为学生欣赏老师解题过程的舞台，过后就忘也就会成为事实.因此笔者在上述问题解决后并没有就此打住，而是引导学生对圆、椭圆、双曲线的轨迹问题进行了同一层次的探究.

探究5  一个动点到两个定点的距离关系可分为几种？

探究6  请根据下列条件建立合适的平面直角坐标系，并求出动点P的轨迹方程.

（1）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，则点P的轨迹方程为            .

（2）△PAB中，若AB=10且PB-PA=6，则点P的轨迹方程为            .

（3）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，则点P的轨迹方程为            .endprint

探究7  请大家完成如下两题：

（4）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，则△PAB面积的最大值为            .

（5）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，则面积的最大值为            .

（6）△PAB中，D是AB的中点，若AB=10且PB-PA=6，则tan∠PDA的最大值为            .

探究8  从上述解题我们可以发现动点P到两个定点A，B的距离关系的三种不同结论.

若动点P到两个定点A，B的距离满足PB=λPA（λ≠1），点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆（阿波罗尼斯圆）;若动点P到两个定点A，B的距离满足PB+PA=2a>AB，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆;若动点P到两个定点A，B的距离满足PA-PB=2a

我们还能得出关于“动点P与两个定点A，B的关系”中相类似的结论吗？

探究9  你能得出圆、椭圆、双曲线的标准方程有什么区别吗？

探究10  你能得出圆、椭圆、双曲线上的点P与两个定点A，B（也在曲线上并关于对称中心对称）的斜率关系的定值吗？

探究11  你能得出圆、椭圆、双曲线上的任意两点A，B连线的中点和对称中心的连线的斜率关系的定值吗？

如此，我们不仅加深了学生对“阿波罗尼斯圆”的理解，还帮助学生将解题思维进行提炼，将圆锥曲线的定义、表达式等进行了统一，同时又把这种思维还原成了学生的基本解题策略，便于学生理解记忆.

牛顿说：“每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一道曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止.”习题讲评课应努力抓住学生问题的关键，只有讲在问题的关键处才能讲出真风采，只有讲在问题的关键处才能真正促进学生理解能力的提高与思维品质的提升.

参考文献：

[1] 罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[2] 朱万喜.通过案例训练学生思维的体会[J].中学数学教学参考，2014（12）：12-13.endprint