思维能力提高题精选

赵成

一、选择题

1.设全集U=R，集合，则

2.已知直线ι、m，平面α、β，且ι⊥α，，给出四个命题：①若α∥β，则ι⊥m；②若ι⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则ι∥m；④若ι∥m，则α⊥β。其中真命题的个数是（）。

A.l

B.2

C.3

D.4

3.已知a为锐角，且tan（π+a）+6sin（π+β）=，则sina的值是（）。

4.一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图1所示，则该多面體的表面积是（）。 5.若f（x）是奇函数，且x。是的一个零点，则，一定是下列某个函数的零点，该函数是（）。

6.函数f（x）=Asin（ωχ+ψ9）（A、ω、ψ是常数，A>0，ω>0）的部分图像如图2所示，有下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④；⑤

其中正确的是（）。

A.①②③

B.②③④

C.①④⑤

D.②③⑤

7.图3是某算法的程序框图，该程序运行后输出的结果是（）。

A.8

B.9

D.11

8.函数的图像与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）。

A.[-1，2）

B.[-l，2]

C.[2，+∞） D.（-∞，1]

二、填空题

9.已知实数a、b分别满足，则a+b的值为_____。

10.在平面直角坐标系x○y中，已知点A（O，2），直线ι：x+y-4=0。点B（x，y）是圆2x-I=O上的动点，AD⊥ι，BE⊥ι.垂足分别为D、E，则线段DE的长度的最大值是_____。

ll.y=f（x）是定义在R上的函数，2是其一个周期，且f（x）是偶函数，当x∈[O，1]时，则函数的零点个数为____。

12.如图4，A、B、C是直线ι上三点，P是直线ι外一点，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，则_____。（用a表示）

三、解答题

13.已知向量a=（2，sinθ），b=（1，cosθ），θ为锐角。

（1）若，求sinθ+cosθ的值。

（2）若a∥b，求的值。

14.如图5，点P是单位圆在第一象限内的任意一点，点A（-1，0）、B（O，-1），PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设P（cosθ，sinθ）。

（1）求点M、N的坐标。（用θ表示）

（2）求x+y的取值范围。

15.在平面直角坐标系x○y中，已知圆，圆Ol与圆0相交，圆心为01（9，O），且圆O1上的点与圆0上的点之间的最大距离为21。

（l）求圆O1的标准方程。

（2）过定点P（a，6）作动直线ι与圆0、圆O1都相交，且直线ι被圆0、圆Ol截得的弦长分别为d、d1。若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值。

参考答案与提示

1.D 提示：A={y|y≥-2），B={x|x<3），则

2.B提示：①④正确，②③错误。

3.C 提示：可得tana-6sinβ=1，-2tana+3sinβ+5=0，解得tana=3，则

4.A 提示：由三视图可得多面体如图6所示，其表面积为S一

5.C 提示：可得f（xo）一，则。又f（x）是奇函数，故，从而一定是函数的零点。

6.C提示：由图易得

最小正周期为，①正确。，②不正确。，③不正确。

因为f（x）的图像关于直线对称，且是f（x）的最大值，所以，④正确。

设（x，f（x））为函数的图像上任意一点，其关于对称中心的对称点也在函数的图像上，即，⑤正确。

7.C提示：第一次循环：n=2；第二次循环：；第三次循环：第四次循环：此时S>9，则输出的S的值为10。

8.A提示：根据题意，直线y=x与射线y=2（x>m）有一个交点A（2，2），并且直线y=x与抛物线上的部分有两个交点B、C。

联立y=x和，解得B（-l，-1）、C（-2，-2）。

抛物线在（-∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A（2，2）一定在射线y=2（x>m）上，则-1≤m<2。

9.2提示：将已知等式变形为

构造函数，这是一个单调递增的奇函数。因为f（a-l）=-2，f（b-l）=2，所以f（a-l）=-f（6-1）=f（1-b），则a-l=l-b，故a+b=2。

10.提示：线段DE的长度的最大值等于圆心（1，0）到直线AD：x-y+2=0的距离加半径。

11.8 提示：数形结合，作出y=f（x）与y=logs|x|在y轴右边的图像，有4个交点。又两个函数均为偶函数，根据对称性，在y轴左边也有4个交点。

12.提示：如图7，过点c作直线AP的垂线，垂足为D，则△PDC为等腰直角三角形，PB为△ADC的中位线，故。根据2PB=CD=PD=PA，在△APB中用勾股定理求出PA，进而求出PC。

13.（1）由a·6=2+，得

又θ为锐角，则sinθ+cosθ=

（2）由a∥6，得tanθ=2。

14.（1）设N（O，t）。由于P、N、A三点共线，可设

。代入①，得1=λ（cosθ+1），t=λsinθ。

由点P是单位圆在第一象限内的任意一点，得cosθ>0，sinθ>O，且，则，此时

同理，可得M

（2）

代入中，得：

联立②和③，得

由，知，则，故x+y∈，即x+y的取值范围为

15.（1）设圆Ol的半径为r。由题意得8+9十r=21，则r=4。

故圆01的标准方程为

（2）当直线ι的斜率存在时，设直线ι：y-b=k（x-a），即y-kx+ka-b=0。

点0、O，到直线ι的距离分别为

则得整理得

由题意得上式对于任意实数k恒成立。

则

①如果b=0，则，解得λ=2（舍去负值），故a=6或a=18。

所以λ=2，点P（6，O）、P（18，0）。

②如果，显然a=9不满足，则，故，即43a+192=0。

，因此该方程无实数根。

当点P的坐标为（6，0）时，若直线ι的斜率不存在，则，所以，满足题意。

综上所述，满足题意的λ=2，点P有2个，坐标分别为（6，0）和（18，O）。