实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法

陈群

确定实系数二次方程实根分布问题中参数的取值范围是高中数学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，它涉及的数学思想方法较多，综合性较强。解决此类问题的主要思路是：从对应函数的开口方向、特殊点的函数值的正负、对称轴的位置、判别式与0的关系等几个角度综合考虑后构建充要条件，从而求出参数的取值范围。现结合实例介绍几种题型及其求解策略，供大家参考。

为叙述方便，现约定：当实系数二次方程ax?+bx+c=0（a≠O）有两个实根时，这两个实根分别为x1、x2。

类型一：方程的两个实根均小于常数k

此种类型的求解策略是：令f（X）=ax?+bx+

例1 已知关于x的方程（1+a）X?-3ax+4a=O的所有根均小于1，求实数a的取值范围。

解：若l+a=O，即a=-l，则方程（l+a）x?-3ar+4a=0即为3x-4 =0，其根为，不满足题意，所以a≠-1。

令

由题意可知：

解得。

因此实数a的取值范围为。

变式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b+5=0有两个负实数根，求实数b的取值范围。

解：令

由题意可知：

解得5评析：上述变式相当于方程的两个实根均小于0，因此构建充要条件的方式不变。

类型二：方程的两个实根均大于常数k

此种类型的求解策略是：令c，则

例2 已知一元二次方程mx?-（m+1）x+3=O的两个实根都大于-1，求实数m的取值范围。

解：令

由题意可知：

解得m<-2或，因此实数m的取值范围为。

变式：已知一元二次方程（m-l）X?+2（m+l）x-m=0有两个正根，求实数m的取值范围。

解：令

由题意可知：

解得O

评析：例5及其两个变式实质上代表了“解在区间内”与“在区间内有解”这两类极易混淆的问题，而两个变式的区别是前者对称轴确定，后者对称轴待定，当然变式1也可以借鉴变式2的解法，在此不作赘述，请读者自己尝试。

类型六：两根分别在区间（-∞，k1）与（k2，+∞）（k1此种类型的求解策略是：令c，则切忌把充要条件写成因为具有两层含义：一是f（k1）与f（k2）同号，二是f（k1）与f（k2）均与a异号，综合起来就是区间（k1，k2）是以两根为端点的区间的子区间，但f（k1）f（k2）>O仅仅说明f（k1）与f（k2）同号。

例6 已知一元二次方程（m+2）=O的一个根小于0，另一个根大于1，求实数m的取值范围。

解：令

由题意可知：

解得m<-2或m>0，因此实数m的取值范围为{m|m<-2或m>O}。

评析：若把条件改为“方程的两个实根在区间[O，1]之外”，则解答时应综合考虑类型一、类型二、类型六这三种情况。

变式1：已知一元二次方程的一个根在（-l，1）内，另一个根大于3，求实数m的取值范围。

解：令

由题意可知：

解得

因此实数m的取值范围为。

变式2：已知方程有一个根小于2，其余三个根大于-l，求实数a的取值范围。

解：令

若x=0是原方程的一个根，则可推得a=0，显然不合题意，所以原方程有四个非零解，同时使得一元二次方程f（t）=0必有两个正根，由此进一步得知原方程的四个根是两对相反数。又原方程有一个根小于2，则其必有一根大于2，故方程，f（t）=O必有一根大于4。

由于原方程的另外两根均大于-l，且这两个根互为相反数，所以这两根分别在（-1，O）与（O，1）内，故方程f（t）=0的另外一根在区间（O，1）内。

因此可列出相应的充要条件

解得

因此实数“的取值范围为。

评析：对于一元二次方程，令，若该方程的一个根在区间内，另一个根大于，结合类型三与类型四，可列出充要条件若该方程的一个根小于k1，另一个根在区间内，结合类型三与类型四，可列出充要条件若该方程的一个根在区间（k1，k2）内，另一个根大于k2，结合类型四，可列出充要条件若该方程的一个根小于k1另一个根在区间（k1，k2）内，结合类型四，可列出充要条件若该方程的一个根在区间内，另一个根在区间（k3，k4）内（k2