随机变量的数学期望在经济决策中的应用

黄基廷

摘 要：本文结合实际例子阐述了数学期望在投资、求职、试验等决策方面中的应用，展示了数学期望在经济决策中的作用。

关键词：数学期望；随机变量；经济决策；应用

数学期望是随机变量一种数字特征，它代表着随机变量总体取值中的平均水准.因为决策方案问题就是将数学期望最大的方案当作最佳方案并加以决策的问题，所以数学期望也越来越多的应用于经济决策中。本文拟结合实例讲解数学期望在投资、求职、试验等决策方面中的应用，展示经济决策中数学期望的作用。

1.投资中的应用

无论是从计划还是决策观点来看数学期望都是极其重要的。假设知道任一方案Aj（j=1，2，…，m）在每一自然状况（影响因素）Si（i=1，2，…，n）发生的情形中，实施方案Aj后产生的盈利值p（Si，Aj），和各自然状况发生的概率p（Si），则可以对各个方案的期望盈利作出比较：Εp（Aj）=∑ni=1p（Si）p（Si，Aj）（j=1，2，…，m），选择出最佳方案，即期望盈利最高的。

1.1 最佳进货量的问题

如果在每个月初，商业大厦储存某一商品y个单位，且每售出一个单位可以得到c元利润，但若到月末有一单位售不出去，则亏损e元。假设这个需求量是一个不定的变量ε，且接近于服从均匀分布，即：

ε～p（x）=1b-a，a≤x≤b0，其它

那么该商业大厦每月初需储存多少单位该商品才可将利润的期望值达到最大？

分析 设该商品储存的单位量为y，利润则为L=f（ε），那么：

L=f（ε）=cy，ε≥ycε-e（y-ε），ε

所以，利润的期望值为：

E（L）=∫+∞-∞f（x）p（x）dx=1b-a∫baf（x）dx=1b-a[∫ya（cε-e（y-ε））dx+∫bycydx]

=1b-a[（ea+bc）y-12（c+e）（y2-a2）]

由于[Ε（L）]′y=1b-a[（ea+bc）-y（c+e）]。令[Ε（L）]′y=0，得y0=a+c（b-a）c+e。

又因为[Ε（L）]″y<0，所以当y=y0=a+c（b-a）c+e时，期望利润值取最大值。

例1 设某一百货商场经销的某种商品，每月的需求量x在100到300范围内等可能取值，该商品也在100到300范围内等可能的取值（每月只在月初进一次货）。商场每销售一单位的商品可以获得500元的利润。但是，若供大于求，则削价处理，每处理一单位的商品亏损100元；如果供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可以获得的利润为300元。现在要做的是估计进货量为多少的时候，商场可以获得最佳的利润？而且最大利润的期望值是多少？

分析 由于这种商品的需求量x是不确定的，即是一个随机变量，而且它在区间[100，300]上均匀分布，而销售该商品的利润值y是x的函数，所以这也作为随机变量之一。题目所牵涉到的最佳利润仅仅是利润的数学期望，即平均利润的最大值。因此，这个问题的求解过程是，先确定y和x的函数关系，再求出y的期望值Εy，最后利用极值的方法求出Εy的极大值点以及极大值。

先假设每月的进货量为a，则

y=500a+300（x-a），当x≥a500x-100（a-x），当x

利润y的数学期望为：

Εy=1200∫a100（600x-100a）dx+1200∫300a（200a+300x）dx

=-0.75a2+350a+52500

令dΕyda=-1.5a+350=0 得：a=7003≈233

所以maxΕy=-0.75×70032+350×7003+52500≈93333（元）

由以上结果可知，月最佳进货量为233单位。最大利润的期望值为93333元。

1.2 机器故障问题

现今是科技日益发展的时代，越来越多的工厂已经或正在完全机械化。在投资生产的时候，不得不考虑机器出故障的可能性，以及在故障出现后的损失情况，以便计算在一段时间内可能获得的利润值。这些都可通过数学期望来解决。

例2 假设一部机器某天中发生故障的概率为0.2，该机器一旦发生故障将全天停工，如果每个星期5个工作日该机器均无故障，工厂能获得利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生2次故障不盈利也没有亏损，而发生3次及以上次数的故障，工厂亏损2万元，求工厂每周的期望利润。

所以该工厂每个星期的期望利润是5.216万元。

1.3 保险问题

例3 某保险公司有对摩托车作出保险，设已知每年赔偿该保险用户一万元的概率是0.0002，赔偿五千元的概率为0.02，赔偿2500元的概率为0.06，假设不考虑其它费用，该保险公司预期平均每一保险用户需缴纳多少的保险费比较合适？

分析 如果这个保险公司对每个保险用户的补偿金额为ε（单位：元），则ε是随机变量，且这个分布列为：

ε的数学期望值为：

这表示保险公司预期對每哥参保客户户赔偿的平均金额是252元。假设保险公司预期从每个参保客户身上平均盈利多少，那么每年就该收取每个参保客户保险费应收取盈利额加上期望值。当然也要考虑保险用户的接受程度。

1.4 股票问题

随着经济的发展，一种与之息息相关的产业也相应的得到了飞速的发展，那就是股票。炒股的利润吸引了很多人都投入到炒股中来，并随着股市的浮沉而或喜或忧。在购买股票的时候，不可避免的会考虑到经济形势带来的风险问题，一时难以做出选择。利用数学期望可帮助人们作出一些决策。

例4 某人投資100万元，期限一年。有两种方法可以投资：一种是将这100万购买股票；二是将这100万存入银行从而产生利息。买股票的收益由经济形势而决定，如果经济形势乐观能够收益40万元，形势中等的话能够收益10万元，形势不好的话则会亏损20万元。如果将这一百万元存入某银行，假设利率为百分之八，那么利息就有8万元，再假设经济形势乐观、中等、不良的概率分别为30%、50%、20%。试问选择哪一种投资方案能够使投资的利润达到最大化？

分析 由该命题可知，在经济形势乐观和中等的情况下，购买股票进行投资是最合理的选择；然而，假设经济形势低迷，那么存入银行的这种投资方案就显得相对保险。然而现实社会当中不可能仅仅出现一种形势，我们也不知道哪种情况会出现，因此，要选择获利效益大的方案，就要比较这两种方案的投资获利的期望值的大小。

存入银行获利的期望是：Ε1=8（万元）。

购买股票的概率分布列为：

经济形势好不好差

获利（万元）4010-20

概率0.30.50.2

则它的获利期望是：Ε2=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2 =13（万元）

因为Ε2>Ε1，所以相对而言购买股票的期望收益大于存入银行，这时就应该将这一百万元投入股票购买。

2.求职决策中的应用

面对日益惨烈的求职竞争，谁都希望少走弯路，少用时间，尽可能快地换来更高的成功率。利用数学期望可帮助人们做足功课，避免盲目，从而更加有针对性地进行求职。

例5 假设三家单位都为某一本科毕业生提供了面试的机会，将面试的时间进行排序，这三家单位分别分为A，B，C，每家单位都有极好，好和一般的三种职位，每家单位根据面试的情况来决定给以面试人哪一种职位或是拒绝其求职。如果规定求职与面试双方需在面试之后立即决定某种职位是否提供接受和拒绝，且规定不可以毁约。咨询专家，评测该毕业生的学业成绩和综合素质后认为，他能够获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2、0.3、0.5。三家公司的工资数据如下：

这位毕业生如果把获得工资数大小看做首要条件的话，那么他在每家公司面试时，对这些公司提供的各种职位要做出哪些对策？

分析 由于每个公司的面试时间有先后顺序，而且从A公司起，使得这个毕业生在选择A公司三种职位时必须考虑后面B，C公司提供的工资待遇。同样在B公司面试后，也一定要想到之后C公司的情况，如此就要先从C公司开始分析。由于C公司的工资期望值为：

Ε1=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）

再分析B公司。由于B公司的一般职位的这种工资只有二千五百元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司极好及好的职位，否则就到C公司应聘，如此决策时，他的工资的期望值为：

Ε2=3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）

最后考虑A公司。由于A公司只有极好职位的工资超过三千零一十五元，所以他只能接受A公司的极好这种职位，否则就到B公司去应聘。

他的总决策是这样的：先去A公司应聘，若A公司提供极好的职位就接受，否则就去B公司应聘；若B公司提供极好或好的职位就接受；否则去C公司应聘，接受C公司提供的任何职位。在这一策略下，他的工资的期望值为：

Ε3=3500×0.2+3015×0.8=3112（元）

3.试验决策中的应用

在实验决策问题中，因为实验的结果只有两种：成功或者失败。但是由于成功的实验和失败的实验的花费并不是一样的。而且不同的实验花费不同，结果也不尽相同。可利用数学期望可分析各种方案的期望值。再根据期望值的大小选择方案。

例 6 如果成功投资生产某一新的工艺流程能够获利三百万元，但在投入生产以前，必须通过小型实验还有中型试验，经费分别需要小型实验二万元和中型实验三十六万元。小型试验成功概率为百分之七十。若连续两次进行，那么成功概率将提升至百分之八十，在小型试验之基础上进行的中型试验的成功率是百分之七十。如果直接搞中型试验的成功率为百分之五十。应如何决策，才能获利最多？

分析 （1）进行一次小型实验和进行一次中型试验，这时这个工程的所有可能出现的情况及和概率解析如下：

（2）两次小型试验和一次中型试验，此时工程的所有可能情况及其概率如下：

（3）若急功近利，舍去小型试验，直接开始中型试验，那么这个工程的全部可能出现的情况及其概率如下：

综合上面三种方案，比较可以得到Ε2>Ε1>Ε3。即第二方案的数学期望值是最大的，显然，这时采取第二方案最有利。

从以上例子可看出，许多经济决策问题通过数学期望都可迎刃而解，数学期望已是经济决策中不可缺少的一部分。（作者单位：河池学院数统学院）

[资助项目]广西高等教育教学改革工程项目立项2014JGA209、广西教育厅科研立项项目201010LX464、河池学院硕士专业学位建设基金课题2015YTB003

参考文献：

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