2014年全国数学高考试题创新特色探析

田祥高

综观2014年全国37套高考数学试卷可知，尽管每份试卷80%左右的试题是考查基本知识、基本技能和基本方法的常规题型，剩下的为数不多的试题才是创新试题，但是，由于创新试题具有立意新颖、背景深刻、情境生动、设问巧妙等特点，富含思维价值，符合课程改革理念和发展方向，是检测考生个体理性思维广度、深度和学习潜能的良好载体，它既有利于高校创新人才的选拔，更有利于引导中学数学教学注重提高学生的思维能力、发展应用意识和创新意识、课程改革的有效实施和深入推进，创新人才的培养。

1 新定义

新定义问题通过给出新定义，让考生在全新的情景下分析解决问题，既体现了试题的公平性，更有利于考查考生继续学习的潜能，以及创新意识和分析解决问题的综合能力，从而有效地选拔出人才。这类试题按其难易程度可以分为以下几类。

1.1 简单的新定义问题

【例1】广东卷文科第10题：对任意复数 ω1，ω2，定义 ω1*ω2=ω1，其中是 ω2的共轭复数，对任意复数z1,z2,z3，有如下四个命题：

则真命题的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

解决这类简单的新定义问题的基本方法是“化新为旧”，也就是将新定义问题转化为旧知，利用已经学过的知识分析解决问题。如本例，只需依据新定义将它转化为复数运算，对四个命题一一验证即知①②正确，故选B。

1.2 需要转化的新定义问题

【例2】山东卷理科第15题：已知函数 y=f(x)(x∈R)。对函数 y=g(x)(x∈I)，定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为y=h(x)(x∈I)，y=h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x,h(x))，(x,g(x))关于点(x,f(x))对称。若h(x)是g(x)=关于 f(x)=3x+b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是___ _。

山东卷文科第9题：对于函数 f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有 f(x)=f(2a-x)，则称 f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

1.3 需要探究的新定义问题

【例3】安徽卷文科第14题：(i)若直线l与曲线C满足下列两个条件：直线l在点P(x0,y0)处与曲线 C相切；(ii)曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C。下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）

①直线l:y=0在点P(0 ,0)处“切过”曲线C：y=x2

②直线l:x=-1在点P(- 1,0)处“切过”曲线C：y=(x+1)2

③直线l:y=x在点P(0 ,0)处“切过”曲线C：y=sinx

由新定义知，两点P1P2间的“L-距离”实际上是折线P1PP2长（如图1所示）。于是：当点P在线段F1F2的正上方（下方）时，P到F1,F2的“L-距离”为定值（当

④直线l:y=x在点P(0 ,0)处“切过”曲线C：y=tanx

⑤直线l:y=x-1在点P(1 , 0)处“切过”曲线C：y=lnx

本题是一道暴露目前中学数学教学现状的新定义题，是命题专家对中学“切线”教学或理解中出现的一些问题而精心设计的一道好题！通过定义“切过”，让学生在短时间内理解定义，了解其几何意义，较全面地通过图形特征考查了高中阶段一些重要而基础的函数知识。本题若直接求解（即先求切线方程，再验证是否在直线两侧），则其计算量相当大，而勾画其函数图像，观察其图像即可得到正确答案为①③④。[1]

【例4】福建卷文科第12题：在平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值（大于的点的轨迹可以是（ ）。P在与F1F2平行线段上时）（如图2所示）；当点P在线段F1F2的外侧（如图3所示）时，P到F1,F2的“L-距离”和为为定值，与上面的定值相等。故选A。

图1

图2

图3

由此可见，解决这类需要探究的新定义问题关键在于：在准确理解新定义的基础上对其进行探究，若探究的难度过大，则应按难易程度将问题肢解成几个小问题进行探究（如本例）。

2 新情景

这类创新试题以新颖的情景为背景，考查考生继续学习的潜能以及分析解决问题的综合能力。按不同情景为载体，又可以分为以下几类。

2.1 以数学史料为背景

【例5】湖北卷理科第8题（文科第10题）：《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3。那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 。

本题以数学史为背景，凸显了湖北的地方传统文化，考查了圆锥体积公式，更考查合情推理能力。解决这类以数学史为背景的试题，不要被描述数学史的一大段文字所吓倒，而应静下心来，事实上这类试题相当简单，只要仔细审题，从中寻找与数学有关的信息，就能找到解决问题的突破口，问题就能轻松解决。

【例6】湖北卷理科第13题：设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数。将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a=815，则 I(a)=158，D(a)=851）。阅读如图4所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= _____。

图4

本题是以数学史中的“自复制数”为背景的条件开放的创新试题。只要任取一个三位数a，依题意依次计算，最多不超过6次即可得到答案。如取a=815，则b=851-158=693，则b=963-369=594，则b=954-495=495，则 b=954-495=495=a，故 答 案 为495。本题还有进一步探究的价值，如对于一般的三位数a最多需要经过多少次计算能得到答案，最少呢？对于二位数、四位数、……有无这样的“自复制数”呢？等等。解决这类以隐性的数学史为背景的试题，只要认真审题，依据题意分析解决问题即可；解决这类条件开放的填空题，注意到填空题结论的唯一性，只要任取其中一个或两个特例试试，即可“途殊归一”。

2.2 以实际问题为背景

【例7】四川卷理科第17题：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（获得-200分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

本题以一款击鼓游戏为背景设置问题情境，考查概率统计的基础知识，特别是第（Ⅲ）题要求运用概率统计知识分析并说明若干盘游戏后积分减少的原因，引导考生用数学的眼光审视游戏过程，通过概率和数学期望的计算，对游戏及其规则进行理性分析，真切体会“用数据说话”的统计思想方法。解决这类以实际问题为背景的创新试题，应认真理解题意，联想数学相应的数学知识，并灵活地运用它分析解决问题。

2.3 以逻辑推理为背景

【例8】全国卷Ⅰ理科第14题：甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市为____。

本题是以逻辑推理为背景的创新试题，“没有公式，没有原理，没有运算，只考查推理能力”考试中心数学命题专家说，因此命制以逻辑推理为背景的创新试题是高考的趋势。解决这类试题的关键在于准确理解题意，从中寻找解决问题的突破口。本例中，由丙知，乙至少到过一个城市，由甲知，甲到过A、C，而乙没有到过C，且乙与甲到过同一城市，故乙只到过A城市。再如下面的变式题，解题的关键在于准确理解“A比B成绩好”与“没有一人比另一个成绩好”的数学逻辑关系。

【例9】北京卷理科第8题：有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种。若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比-1高，则称A同学比B同学成绩好。”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的最多有多少学生（ ）。[2]

（A）2 （B）3

（C）4 （D）5

2.4 以非常规考点为背景

【例10】上海卷理科第16题：如图5所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,...,8)是上底面上其余的八个点，则·i(i=1,2,...,8)的不同值的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

本题以空间数量积为背景设置试题，开放的条件使试题立意深刻，富含思维价值，能有效考查考生的创新意识和能力。注意到向量在的投影为定值1，故·的不同值个数为1。突破这类以不常考的冷点为背景的试题的有效备考是：其一，备考时，必须“到边到角”，不留死角。其二，要善于联想，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题。如本例中，对于空间向量数量积，联想平面向量数量积的几何意义——投影，于是问题轻松解决。其三，要善于转化。如下面的变式题，对于这类空间几何体内的反射问题，考生从未见过，但冷静分析后，不难分析发现它实质是平面反射问题，化生为熟，问题自然而然地解决。

【例11】江西卷理科第10题：如图6所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12，一质点从顶点A射向点b1，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li（i=2，3，4），Li=AE将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）。

2.5 背景材料十分简单

【例12】福建卷理科第15题：若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系：① a=1；② b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是_________。

本题背景材料相当简单，仅涉及较少的数学知识（最原始的数学概念），却对考生的能力提出了较高的要求。[3]有效的考查了考生的理性思维、逻辑推理、创新意识和探究能力。若a=1，则①②均正确，与有且只有一个正确矛盾，故a≠1；若b≠1，则(a,b,c,d)为 (3,2,1,4)或 (2,3,1,4)；若 c=2，则(a,b,c,d)为 (3,1,2,4)；若 d≠4,则 (a,b,c,d)为(2,1,4,3)或(3,1,4,2)或(4,1,3,2)。故(a,b,c,d)的个数是6。解决这类背景材料相当简单，却对逻辑推理能力要求较高的试题，关键在于平时对思维的缜密性和严谨性的培养。分类讨论时要全面不遗漏，推理时应注意它的严谨性。类似地可解决下面的变式1，而解决变式2的突破口仍在逻辑推理上，即可知有序数组的5个数中仅1个数为±1、或仅2个数为±1、或仅3个数为±1，由计数原理及组合知识可知其数组(x1,x2,x3,x4,x5)的不同组数为

【例13】福建卷文科第16题：已知集合{a ,b,c}={0 ,1,2}，且下列三个关系：①a≠2②b=2③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c= __。

A.60 B.90 C.120 D.130

本题背景材料十分简单,仅有一个不等式,却对考生能力提出较高的要求。本题的解决既可对不等式进行分类讨论，从而得到当且仅当0≤x≤1且0≤y≤1时不等式才成立，于是问题转化为线性规划问题。也可以由含绝对值不等式性质入手，即由等号当且仅当x与x-1异号，即 x(x-1)≤0即0≤x≤1时成立。同理转化为线性规划问题。由此可见，解决这类条件十分简单的创新试题，关键在于思维的缜密与严谨，还要善于联想，运用发散思维将问题扩展开来，再运用收敛思维分析出问题关键所在，然后灵活运用相关数学知识分析解决问题。

3 新交汇

A.(- ∞,-6 )∪(6 ,∞ ) B.(- ∞,-4 )∪(4 ,∞)

C.(- ∞,-2 )∪(2 ,∞ ) D.(- ∞,-1) ∪(4 ,∞)本题融函数的极值、三角函数的图像性质与不等式的能成立问题于一体，考查学生对知识的综合应用能力，设计巧妙，背景新颖。注意到 f(x)=m2，解得 |m |＞2。故选C。

p1：∀(x,y)∈D,x+2y≥-2，

p2：∃(x,y)∈D,x+2y≥2,

P3：∀(x,y)∈D,x+2y≤3，

p4：∃(x,y)∈D,x+2y≤-1。

其中真命题是（ ）。

A.p2，P3B.p1，p4

C.p1，p2D.p1，P3

本题把线性规划问题融入到全称命题和特称命题的真假判断之中，让人耳目一新，体现了在知识交汇处命题的重要思路。先勾画出不等式组所表示的可行域，则∀(x,y)∈D不等式恒成立⇔可行域是不等式所表示平面区域的子集，∃(x,y)∈D不等式成立⇔可行域与不等式所表示平面区域的交集非空，于是 p1，p2为真命题。

【例17】陕西卷理科第18题：在直角坐标系xOy中，已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ΔABC三边围成的区域（含边界）上，

本题将线性规划融于平面向量之中，开交汇之先河。解决本题的关键在于有平面向量知识用x,y表示m,n，即=m+n-所以(x,y)=m(1,2)+n(2,1),即x=m+2n,y=2m+n。解得m-n=y-x。

解决这类新交汇的创新试题的关键在于胆大心细。首先在心理上要相信自己，尽管试题新颖但肯定不难，相信一定能解决。其次要善于各个击破，即涉及哪一部分内容，就利用相关知识尽量对其条件和结论向前多推几步，最终就能转化为熟悉问题。

4 新解法

【例18】（1）湖北卷理科第10题：已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，当 x≥0时，f(x)=( |x-a2|+|x-2a2|-3 a2)。若∀x∈R，f(x-1)≤ f(x)，则实数a的取值范围为（ ）。

（2）湖南卷理科第16题：如图7所示，在平面直角坐标系中，O为原点 A(-1,0),B(0,3),C（3 0）动点D满足

（3）辽宁卷理科第16题：对于c＞0，当非零实数a，b满足 4a2-2ab+4b2-c=0 ，且使|2a+b|最大时，

（1）本题可用分类讨论方法解决，但计算量偏大，若勾画y=f(x)图像如图7所示，由图7可知对于x∈R ，恒有 f(x-1)≤f(x)，所以函数 y=f(x-1)的图像在函数y=f(x)图像的下方，从而有1-3a2≥3a2，解得

（2）本题若用坐标将问题转化代数问题，则计算较大。如图8所示,不妨设D点在以C为圆心的单位圆上运动，故

（3）对大部分考生来说，可能连题都看不懂。因为从题干上看，比较难发现这个题目到底考的是什么知识点。从求最小值的表达式可以联想到把三元问题一元化，转化的依据应该是|2a+b|取得最大值时a,b满足的条件，这样可以根据已知条件将其转化为一元问题。解题关键是如何找到a,b满足的条件，如果想不到把代数问题转化为解析几何问题，则条件很难找到。将已知转化为换元后的圆的（需要较高的恒等变形能力），即可转化为直线系中的截距的绝对值最大问题（相切），进而可得到a,b的关系，最后可把问题转化为一个二次函数的最小值问题。

图8

解决这类解法全新（一般的“题海”中从未见过）的试题，关键在于冷静分析，有效转化。如本例（1）利用数形结合使问题得到有效转化；本例（2）将问题转化为点Q到圆C上的点距离的最值问题就十分简单；而本例（3）将问题转化为解析几何问题就能找到解题的有效突破口。

5 新探究

5.1 探究一般规律

【例19】安徽卷理科第15题：已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成。记S=x1y1+x2`y2+x3`y3+x4y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值。则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）。①S有5个不同的值；②若a⊥b，则Smin与

5.2 运用合情推理探究

【例20】湖北卷理科第14题：设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且 f(x)＞0。对任意 a＞0，b＞0，若经过点(a, f(a))，(b, -f(b))的直线与x轴的交点为(c, 0)，则称c为a,b关于函数 f(x)的平均数，记为Mf(a,b)。例如，当 f(x)=1 (x＞0)时，可得Mf(a,b)=，即M(a,b)为a,b的算术平均数。f

（Ⅰ）当 f(x)= __(x＞0)时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数；

（Ⅱ）当 f(x)= __(x＞0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

[1] 朱恒元，金建军.接天莲叶无穷碧 映日荷花别样红——2014年全国各地高考数学卷的命题特点和复习建议[J].中国数学教育,2014（8）：2-10.

[2] 戈峰，徐睿，徐洁.2014年高考新课标卷数学试题评析[J].新课程教学（电子版），2014（7）：17-21.

[3] 杨苍洲，陈中峰.2014年高考“立体几何”专题分析[J].中国数学教育，2014（8）：76-85.