环变换下的Dc-投射模及其维数

王占平,梁春丽

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

环变换下的Dc-投射模及其维数

王占平,梁春丽

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

在环R的优越扩张和局部化上研究相对于半对偶R-模C的Ding-投射模(即Dc-投射模)及其维数.证明了在环R的优越扩张S上，M是Dc-投射R-模当且仅当S⊗RM是DS⊗RC-投射S-模;M的Dc-投射维数等于S⊗RM的DS⊗RC-投射维数.

Dc-投射模;半对偶模;优越扩张;局部化

0 引言

1995年,Enochs[1]给出了Gorenstein投射模和内射模的定义,并且得出了一些经典的结论.2006年,Holm[2]在交换的Noetherian环上研究了相对于半对偶R-模C的Gorenstein投射模和内射模及其维数的刻画.近年来,Ding-Mao[3,4]在一般环上研究了两种特殊的Gorenstein投射模和内射模,即Gorenstein 平坦模和Gorenstein FP-内射模,并且用这两种模类刻画了凝聚环.后来,Gillespie[5]在n-FC环上研究了这两种模类,并且得出了一些类似于Gorenstein投射模和内射模在Gorenstein环上的性质,而n-FC环是由Ding和Chen[6]引入的.因此,Gillespie把这种环重新命名为Ding-Chen环,把这两种模重新命名为Ding投射模和Ding内射模.2010年,Yang-Liu[7]进一步研究了Ding投射模和Ding内射模的同调性质.2014年,Huang[8]将其推广得到了相对于半对偶R-模C的Ding投射模和Ding内射模,即Dc-投射模和内射模,同时给出了Dc-投射和内射模的性质及其维数刻画.受此启发,本文研究Dc-投射模在环变换下的不变性质,给出了Dc-投射模及其维数在环R的优越扩张和局部化上的等价刻画.

1 预备知识

除非特别说明，文中的环R和S是交换环,C是半对偶R-模，RM表示R-模范畴.

定义1[8]称左R-模C是半对偶模，如果以下条件成立：

(1)存在R-模的正合复形

使得HomR(X,C⊗RF)仍然正合,其中F是任意的平坦R-模.对偶地有Dc-内射模的等价刻画.

命题2[8]Dc-投射模类是投射可解类,并且关于扩张、直和、直和因子封闭.

2 环变换下的Dc-投射模及其维数

设S≥R是环R的优越扩张.由文献[11]中的引理2.4(1)知,当C时半对偶R-模时S⊗RC是半对偶S-模.下面讨论相对于半对偶R-模C的Ding-投射模和相对于半对偶S-模S⊗RC的Ding-投射模之间的关系.

定理1 设S≥R是环R的优越扩张,C是半对偶R-模,则M是Dc-投射R-模当且仅当S⊗RM是DS⊗RC-投射S-模.

证明 必要性.因为M是Dc-投射R-模,所以存在正合序列

使得M≅Coker(P1→P0),其中每个Pi和Pi是投射R-模.因为RS是自由模,所以

是正合的，即

是正合的.另一方面,对任意的平坦S-模F,F也是平坦R-模(参见文献[10],命题12)，所以

因此HomS(S⊗RP,(S⊗RC)⊗SF)正合,所以S⊗RM是DS⊗RC-投射S-模.

充分性.对任意的平坦R-模F,S⊗RF是平坦S-模(参见文献[12],引理1.1).因为S是R的优越扩张,所以对某个整数n,有S≅Rn，进一步，有

使得Hom(SP,(S⊗RC)⊗SF)正合,其中F是任意的平坦S-模,所有的Pi是投射S-模.所以

正合,其中所有的Pi是投射R-模.因为

S⊗RHomR(RP,C⊗RF)≅

又因为S是忠实平坦R-模,所以HomR(RP,C⊗RF)是正合序列.由命题1得,Mn是Dc-投射R-模,再由命题2可得,M是Dc-投射R-模. 】

推论1 设S≥R是环R的优越扩张,C是半对偶R-模，则对每一个R-模M,有

证明 先证Dc-pdR(M)≥DS⊗RC-pdS(S⊗RM).设Dc-pdR(M)=n,则存在正合序列

其中每个Pi是Dc-投射R-模.因为S是自由模,所以

是正合的,每个S⊗RPi是DS⊗RC-投射S-模,所以

再证Dc-pdR(M)≤DS⊗RC-pdS(S⊗RM).假设DS⊗RC-pdS(S⊗RM)≤m,则存在正合序列

(1)

其中每个Di是Dc-投射R-模.因为S是自由模,用S⊗R作用到(1)式可得正合序列

其中每个S⊗RDi是DS⊗RC-投射S-模.由文献[10]中的命题2.11得,S⊗RD是DS⊗RC-投射的.再由定理1得,D是Dc-投射R-模.因此

命题3 设S≥R是环R的优越扩张,C是半对偶R-模,M是S-模,则M是Dc-投射R-模当且仅当M是DS⊗RC-投射S-模.

证明 必要性.已知M是Dc-投射R-模,由定理1得,S⊗RM是DS⊗RC-投射S-模,再由命题2得,M是DS⊗RC-投射S-模.

充分性.设M是DS⊗RC-投射S-模,则存在正合序列

使得M≅Coker(P1→P0).又因为每个投射S-模是投射R-模,所以有正合序列

其中每个Pi和Pi是投射R-模.下证对任意的平坦R-模F,HomR(RQ,C⊗RF)正合.因为

HomR(RQ,C⊗RF)≅

而S⊗RF是投射S-模,所以HomS(Q,(S⊗RC)⊗S(S⊗RF))正合,即HomR(RQ,C⊗RF)正合. 】

推论2 设S≥R是环R的优越扩张,C是半对偶R-模，则对每个S-模M有

证明 先证Dc-pdR(M)≤DS⊗RC-pdS(M).若DS⊗RC-pdS(M)=∞,则显然成立.假设DS⊗RC-pdS(M)=n,则存在正合序列

其中每个Di是DS⊗RC-投射S-模,由命题3得,每个Di是Dc-投射R-模.因此

再证Dc-pdR(M)≥DS⊗RC-pdS(M).假设Dc-pdR(M)=m,则存在正合序列

综上所述,Dc-pdR(M)=DS⊗RC-pdS(M). 】

推论3 设S≥R是环R的优越扩张,C是半对偶R-模，则以下结论等价：

(1)M是Dc-投射R-模；

(2)S⊗RM是DS⊗RC-投射R-模；

(3)S⊗RM是DS⊗RC-投射S-模；

(4)M是Dc-投射S-模.

证明 由推论1可得,glDpdS⊗RC(S)≥glDpdC(R),再由推论2可得,glDpdS⊗RC(S)≤glDpdC(R). 】

设R是交换环,T是R的乘法闭子集,R相对于T的局部化环记为T-1R.设M是R-模,则M相对于T的局部化模记为T-1M.

命题4 设R是交换环,T是R的乘法闭子集，C是半对偶R-模.若M是Dc-投射R-模,则T-1M是Dc-投射T-1R-模.

证明 因为M是Dc-投射R-模,所以存在正合序列

使得M≅Coker(P1→P0),其中每个Pi和Pi是投射R-模.又因为T-1R是平坦模,所以

正合,每个T-1Pi和T-1Pi是投射T-1R-模.设Q是任意的平坦T-1R-模,则Q是平坦R-模.因为

HomR(P,C⊗Q)≅

所以T-1M是Dc-投射T-1R-模. 】

推论5 设R是交换环,T是R的乘法闭子集,C是半对偶R-模,则

若R是交换环,T是R的乘法闭子集，则由文献[11]中的引理2.4(2)知,当C时半对偶R-模时T-1C是半对偶T-1R-模.下面讨论相对于半对偶R-模C的Ding-投射模和相对于半对偶T-1R-模T-1C的Ding-投射模之间的关系.

命题5 设R是交换环,T是R的乘法闭子集，C是半对偶R-模,M是T-1R-模.若M是Dc-投射R-模,则M是DT-1C-投射T-1R-模.

证明 由于M≅T-1R⊗RM(参见文献[13]引理2.2.4),类似于定理1的证明方法,可得结论成立. 】

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[13] ENOCHS E E,JENDA O M G.RelativeHomologicalAlgebra[M].De Gruyter Expositions in Math Vol 30.Berlin:Walter de Gruyter,2000.

(责任编辑 马宇鸿)

Dc-projectivemodulesanditsdimensionunderchangeofrings

WANGZhan-ping,LIANGChun-li

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

The Ding-projective modules and its dimension with respect to a semidualizingR-moduleC(that is,Dc-projective modules) are investigated under excellent extension and localization of a ring.It is proved thatMisDc-projectiveR-modules if and only ifS⊗RMisDS⊗RC-projectiveS-modules,and that theDc-projective dimension ofMis equal to theDS⊗RC-dimen- sion ofS⊗RM.

Dc-projective modules;semidualizing modules;excellent extension;localization

2014-12-06;修改稿收到日期:2014-12-30

国家自然科学基金资助项目(11201477)

王占平(1978—),女,甘肃天水人,副教授,硕士研究生导师.主要研究方向为同调代数. E-mail:wangzp@nwnu.edu.cn

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1001-988Ⅹ(2015)04-0014-04