城市道路网内部结构特性分析的分形维数方法

何石坚，李清波，匡姣姣

（长沙理工大学交通运输工程学院，湖南长沙 410004）

城市道路交通网络的形成与发展自始至终贯彻于城市的形成和发展过程之中，城市道路网既是城市的过境交通重要载体，又是城市对内交通的主体。城市与城市道路交通网络的关系犹如人体与血液循环系统的关系，随着城市功能的逐渐完善和城市规模的扩大，城市道路网的规模随之壮大［1］。针对合理规划布局和评价城市道路网的问题，将传统的公路网评价方法［2］中路网密度相关指标沿用于城市道路网的分析评价中，这样的评价存在着一定的缺陷。城市道路网不同于公路网，其具备的功能较公路网更丰富多样，城市道路网既服务于过境流量，又服务于工业企业、住宅小区及车站等城市内部用地。多数情况下，城市道路功能决定了其技术等级，而路网密度指标只能笼统地描述路网整体的布局状况，却不能对路网内部结构进行深入、直观的分析。可见，将路网密度指标用于城市道路网内部结构特性评价并不全面。

一些学者针对城市道路网内部结构评价做了相关研究，陈学武［3］等人提出了以道路总里程、交通供需平衡关系、道路容量和道路面积需求等作为约束条件的小城市路网级配模型，得到了小城市主干道、次干道和支路最优级配为1∶1.56∶2.56。杜进有［4］等人建立了饱和度模型，用以评估城市道路网容量与通过能力；陆建［5］等人研究了城市道路网的规划指标体系，提出了以人均用地面积和路网密度为主体的路网空间和质量指标体系；曾松［6］等人提出了可达性指标，对城市道路网结构效益进行了综合评价，研究了城市道路网的土地利用强度。栾学晨［7］等人对城市道路网结构进行了拓扑提取，得到了一种城市道路网结构化分析和结构等级的建模方法。由此可见，现有城市道路网结构特性的评价方法大多是以道路总里程、用地面积和道路网总容量等相关因素为研究基础，得到的级配模型、饱和度和可达性等结果局限于对城市道路网整体的宏观评价，不适于表述城市道路网内部微观结构的特性。

路网与其组成部分的关系就是整体与局部的关系，而分形维数就是用于描述自然界中事物的整体与其组成部分以某种方式联系的特性参数［8］，因此相关学者们将分形维数应用到各类路网内部结构的研究中。管楚度［9］将分形理论运用到公路网内部结构特性的分析中，给出了工程实践中公路网分维数的计算模型；游清华［10］提出了公路网分维数既能描述某一地区公路网建设规模又能体现公路网布局均匀性的观点；Frankhouser［11］提出了长度－半径维数测算模型，并用于描述德国stuttgart郊区铁路网络的分形特性；Benguiguil［12］等人运用分形维数理论，揭示了巴黎市郊区铁路网络布局的内部特性；学者们还对分形维数与路网密度指标在路网结构分析中进行了对比，并对分形维数在路网评价中的应用做了相关研究［13－15］。研究结果表明：分形维数可直观描述公路、铁路交通网络在其网络区域上的覆盖状况和均匀性等内部结构特性。

分形维数可用于公路和铁路等交通网络内部结构特性的分析，但现有研究大多以某一路网整体为研究对象，少有对其内在等级结构展开细化分析，因此路网内部等级结构特性的相关研究甚少。本研究拟以分形维数有关理论为基础，借鉴以往分形维数在公路和铁路交通网络结构分析中的经验，将分形维数方法运用到城市道路网内部结构特性的分析中，对城市道路网的内部等级结构展开分析。为寻求因城市道路网内部道路等级的不同而产生的各级子路网覆盖状况和空间层次上的微观结构特性，分别计算城市道路网各级子网分形维数，再根据各级子网分形维数对城市道路网的内部结构特性进行综合分析。

1 城市道路网内部结构特性分析

1.1 分形维数

20世纪70年代初数学家Mandelbrot提出了分形理论［9］，定义了用于分形描述的定量指标（分形维数），即一个整体若量度其“容积”单位的半径为r，用该单位量度的结果N（r）满足N（r）＝cr－D∝r－D（其中：N为局部的个数；r为局部所选取的单位量度；c为常数；D为整体的分维数）的关系。

分形维数描述了研究整体与局部的自相似性，本研究的城市道路网就具有一定的自相似性。在实际问题中，对分形维数进行了改进［4］，称为Hausdorff分维计算法：

式中：N为局部的个数；δ为局部与整体的相似比。

1.2 基于分形维数的城市道路网内部结构特性测度指标

路网分析实践中，对Hausdorff分维数计算方法进行了粗视化处理，具体步骤为：用间隔r的格子把城市道路网图平面分割成边长为r的正方形网格，计量对象即各级道路线路落入到正方形格子的数目，记为Ni（r）。将边长r不断进行细分，记第k次等分后网格边长为rk，相应的第i级道路线路的网格数记为Ni（rk），故得到数列和m个数列将其点绘在平面直角坐标系中，可得到m条R与Ni（r）的曲线，分别表示各级子网分形粗视化结果。

测度指标1：分形维数。从几何学原理上分析，即拓扑维数，可用于实体与实体之间邻接关联和包含等关系。因此，根据粗视化方法，分形维数D（r）用于描述城市道路网网格与网格之间的邻接关联，故将其定义为路网覆盖形态评价指标，用于实际描述经城市道路网格分割后城市道路与城市地块之间的拓扑关系。

根据式（1），以r取代δ再两边取对数，得：

式中：A为常数；Di（r）为城市道路网第i级子网分形维数。

根据式（2），得r与Ni（r）的关系曲线，对其进行线性拟合，可得各级子网分形维数指标Di（r）。很显然，分形维数指标即为所拟合直线的斜率。将式（1）改写为：

再用差分代替微分，则

式中：rk为第k次细分网络后的网格边长；rk－1为第k－1次细分网络后的网格边长；Ni（rk）为第k次细分网络后第i级道路路线落入的网格数；Ni（rk－1）为第k－1次细分网络后第i级道路路线落入的网格个数；Di（rk）为第i级道路网在第k次细分网络后的分形维数。

根据式（3）模拟某一城市道路网粗视化细分过程，既有路网覆盖区域rk不断缩小，这一过程中将得到数列和m个数列点绘在平面直角坐标系中，可得到m条r与Di（r）的关系曲线，称为路网分形维数曲线［13－15］。假定所研究的城市道路网覆盖区域边长为R，分别用R／2，R／3及R／4的网格划分该区域，可得相应的理论取值｛0 1 1.585 2｝；0.631 1.262 1.465 1.631 1.771 1.893 2｝；0.3 0.792 1 1.161 1.292 1.404 1.5 1.585 1.661 1.730 1.792 1.850 1.904 1.953 2｝。

分形维数Di（rk）的取值范围为［0，2］。道路路线落入的网格数Ni（rk）越多，Di（rk）就越大。由此，可判断第i级路网分形维数越大，路网覆盖区域内有该级道路路线通过的地块就越多，该级道路网在区域内覆盖效率就越高，这一规律即城市道路与城市地块间拓扑关系的直观体现，具体评判标准见表1。

表1 路网分形维数评价标准Table 1 Evaluation standard of road network fractal dimension

路网分形维数曲线描述了网格边长rk与各级道路网分形维数Di（rk）的逻辑关系，Di（rk）在网络细分过程中体现出随网格边长r不断减小而减小的性质。而网格边长rk实际表示路网覆盖区域下相邻城市地块之间的空间距离，各级道路网分形维数Di（rk）实际表示第i级路网在其覆盖区域粗视化网格边长为rk时路网的覆盖效率。Di（rk）随r减小而减小，直至第i级路网不再体现自相似性时，其临界值为1.585。当道路网分形维数取临界值时，该路网网络覆盖效率最优。

测度指标2：连通深度R。道路网络达到最优覆盖效率时的网格边长r所对应的实际空间距离R称为路网的连通深度。第i级城市道路子网的连通深度记为Ri。连通深度指标用以评价路网的有效连通距离和服务能力。

临界值取值分析［15］：城市道路网的连通深度Ri表示研究区域内约3／4的地块有第i级道路路线通过时的网格边长。在路网结构分析中，第i级路网的连通深度即表示该级路网在空间上的有效连通距离，即2个距离为Ri的城市地块间将会至少有1条i级城道路有效连通。

连通深度Ri越小，第i级路网覆盖越密集，有效连通距离越小，服务状况越好；反之，连通程度和服务能力就越差。城市道路网包括：快速路、主干道、次干道和支路，快速路和主干道主要服务过境交通流量，而次干道和支路主要服务于城市内部循环交通流。道路等级从高到低体现出交通功能中通过性逐渐降低、可达性逐渐升高的规律，因此道路等级由高到低对应的有效连通距离逐渐缩小。故连通深度Ri能直观地体现因道路等级的差异所产生的空间层次上的特性，可用于表述城市道路网的内部结构特性。

2 案例分析

2.1 信息的获取

以长沙市望城区城市道路网为研究对象进行案例分析。该市区城市道路网由快速路网、主干道网、次干道网和支路网4级子网组成，地图比例尺为1∶50 000。分别用网格边长rk的网络覆盖统计有各级道路线路通过的网格数Ni（rk），其中i＝1代表快速路网，i＝2代表主干道网，i＝3代表次干道网，i＝4代表支路网。根据式（4），计算各级道路网对应的分形维数Di（rk），计算结果见表2。

表2 长沙市望城区城市道路网内部结构特性分析和计算Table 2 Analysis and calculation of road network’s internal structure characteristics at Wangcheng district in Changsha

2.2 指标的计算

1）分形维数D（r）

图1 各级道路网ln r与ln（Ni（r））的关系Fig.1 Relationship of ln r～ln（Ni（r））in all levels of sub－networks

快速路网对应的拟合方程：ln（N1（r））＝4.853 1－1.059 5lnr，R12＝0.993 6；主干道网对应的拟合方程：ln（N2（r））＝6.594 7－1.581 8lnr，R22＝0.996 8；次干道网对应的拟合方程：ln（N3（r））＝6.988 8－1.619 1lnr，R32＝0.997 9；支路网对应的拟合方程：ln（N4（r））＝6.968 3－1.509 7lnr，R42＝0.999 1；拟合精度均能满足要求，故得到各级道路网分形维数结果：D1（r）＝1.059 5，D2（r）＝1.581 8，D3（r）＝1.619 1，D4（r）＝1.509 7。

2）连通深度R

根据网络边长r与实际空间距离d的比例尺关系，按照连通深度R的定义，可直接考虑d与Di（r）的关系。将数列和m个数列分别点绘在平面直角坐标系上得到结果如图2所示。从图2中可以看出，d与Di（r）呈线性变化关系，假定它们的关系式为：

采用最小二乘法对各级道路网d～Di（r）曲线进行线性拟合，得到了回归方程。假定置信度α＝0.005，F检验中临界值F（1，4）＝31.33，分别对回归方程进行显著性检验。

图2 各级子网d与DI（r）的关系Fig.2 Relationship of d～DI（r）in all levels of sub－networks

快速路网对应的拟合方程：D1（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F1＝495.18；主干道网对应的拟合方程：D2（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F2＝630.38；次干道网对应的拟合方程：D3（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F3＝152.51；支路网对应的拟合方程：D4（r）＝0.092 8d＋0.869 4，F4＝39.52；F1，F2，F3和F4均大于临界值F（1，4），即所得回归方程均能满足置信度α＝0.005的F分布显著性要求。故假定Di（r）＝1.585，得到各级道路网连通度指标分别为：R1＝7.71km，R2＝2.10km，R3＝1.64km，R4＝3.38km。

2.3 案例分析

根据分形维数和连通深度指标的计算结果，结合长沙市望城区城市道路网的实际情况，分析得到长沙市望城区城市道路网内部结构的特点为：

1）长沙市望城区城市道路网中各级道路网分形维数计算结果为：快速路网D1（r）＝1.059 5，主干道网D2（r）＝1.581 8，次干道网D3（r）＝1.619 1，支路网D4（r）＝1.509 7。且D1（r）＜D4（r）＜D2（r）＜1.585＜D3（r）。从表1中可以看出，望城区城市道路网中快速路网和支路网的覆盖效率处于较低水平，主干道网接近最优覆盖效率，而次干道网处于较高的覆盖水平。这表明长沙市望城区城市道路网中快速路和支路的建设规模未达到实际需求。

2）理论上城市道路等级从高到低变化，其通过性降低而可达性提升，故连通深度应当随道路等级的降低而逐渐减小。望城区城市道路网连通深度R3＜R2＜R4＜R1，快速路和支路网连通深度偏大，支路网连通深度甚至超过了主干道和次干道网的连通深度。由此可推断：望城区城市道路网内部等级结构紊乱，各级道路服务功能分工不明确，特别是支路网主要的可达性特征未能体现。

结合长沙市望城区城市道路网建设的实际情况，2011年6月原长沙市望城县撤县设区，其县域内部原有的城市道路和城乡公路网需要逐渐转型为与长沙市相对接的城市道路网。因此，近几年望城区的城市道路网建设尚未成型，快速路网和支路网建设滞后，内部等级结构尚未完善，该情况与分形维数和连通深度的计算结果相吻合。这也验证了运用分形维数和连通深度指标能揭示城市道路网内部结构特性的可行性。

3 结论

依托长沙市望城区城市道路网实际情况，将分形维数相关理论运用到城市道路网内部结构特性的分析中，得到的结论为：

1）分形维数可以同时分别运用在某一城市道路网所包含的快速路网、主干道网、次干道网和支路网的分析中。Di（r）为1.585时，路网覆盖效率最优；Di（r）高于1.585时，路网覆盖效率有剩余；Di（r）低于1.585时，路网覆盖效率偏低。在对路网总体结构进行调整时具有指导意义，可以考虑加大覆盖效率低的子网建设规模，将覆盖效率偏高的低等级子网进行部分路线提质填补覆盖效率低的高等级子网。

2）连通深度描述了路网的有效连通距离，能定量地确定路网的实际服务深度。将其运用到城市道路网各级子网结构特性的分析中，可明确各级子网的实际服务深度，同时判别各级子网连通深度的取值是否符合各级子网交通功能的实际需求。

3）通过对各级子网连通深度的比较发现，道路等级越高，连通深度也就越大，据此可以判别城市道路网内部等级结构是否层次分明。对各级子网连通深度随等级的变化规律进行分析，可以找出造成城市道路网内部等级结构紊乱的原因。

综上所述，分形维数和连通深度这两大指标能够较好地揭露城市道路网的内部结构特性，验证分形维数方法运用到城市道路内部结构分析中的可行性。但本研究依托的地区城市道路网总体呈方格网状，这一形状与Hausdorff分形维数粗视化方法的方格网划分过程是相适应的。因此，这类方法是否能运用到其他布局类型（如：环形加射线型和自由型等）的城市道路网的分析中，还需进一步探究。

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