不动产测量中的环玦状房地产面积计算方法

2015-06-26徐兴彬

地理空间信息 2015年6期

徐兴彬

（1.广东工贸职业技术学院测绘系，广东广州 510510）

广州某住宅区开发建设持续10余a，其中有一片别墅区规划建设成数条环玦状地带（图1），测量时发现同一条环玦带的同一条弧线上各地块的圆弧长相等，但面积却不一定相等。规划时设计人员只将各段圆弧平均分配再依次相连成各个单位地块，而且认定各单位地块的面积均等。在管理广州市寸土寸金的别墅用地时，要体现不动产测量登记工作的科学性与严肃性，就必须计算出每一块地的面积准确值[1,2]。

图1所示为别墅住宅区某一部分的实地情况，规划设计人员先在地形图上确定数条沿直径方向的放射状纵向主干道（例如，其中2条主干道中线为ABEO与CDFO）。将中线分别往两边平移获得道路宽度（中线退缩后分别为2am和2bm），与纵向主干道垂直的各条道路的中线或边线均为同心圆弧，各圆弧均有确定的半径。将各段路边线圆弧等弧长划分并依次相连，便得到各个环玦状小地块（宗地范围），各小地块的测量放线同样先计算出各平均小段圆弧的弦长，然后用钢尺按距离放线。现在要求计算环玦中各小地块的面积准确值。先利用初等几何计算出图中玦形A0B0C0D0所包含的面积（即图2中的A0B0BnAn），整理得到：

此时，如果假定图2中各小地块具有相同的面积，则可以将上述面积S玦形A0B0C0D0除以A0B0C0D0中地块的个数n，即得各小地块的面积。根据下面的推导分析，可证明此假设是错误的。

图1 小区别墅平面图

图2 面积推算示意图

1 公式推导

图2中，2条纵向道路的路中线AB、CD之间的夹角为Ω，路宽分别为2a和2b，该地段总地块数为n，各地块前后圆弧半径分别为r、R。建立如图中的独立直角坐标系oxy，针对图中第i个地块，则有：

因此，直线Ai Bi和Ai-1Bi-1的方程式为：

其中，Ki =（xAi-xBi）/（yAi-yBi）；Ki-1=（xAi-1-xBi-1）/（yAi-1-yBi-1）。

根据二重积分的几何原理，则该块面积为[3]：

积分后将式（1）、（2）代入，整理得：

它们均为常量，其几何意义为：M1为大圆弧Ai-1Ai所围成扇形OAi-1Ai的面积；M2为小圆弧Bi-1Bi所围成扇形OBi-1Bi的面积；N1、N2则均为一夹角（见图2）。根据式（3），当i发生变化时，各小块的面积Si依据它的位置变化而有所不同。

2 分析讨论

2.1 关于函数Si=f（i）的极值

对于式（3），因为Si=f（i）为连续函数，对i求微分并令其等于0：

则式（5）中k≡0，即Si=f（i），当1≤i≤n时只有

根据式（6），有 d2Si /di2>0，即函数Si=f（i）在i属于[1，n]时具有向上凹的连续曲线，且在处有极小值：

2.2 函数Si = f(i)的图形

令1≤i≤j≤n，根据式（3）有：

令i=1，j=n，则

令j=n代入式（8），再令

图3 a>b时Si=f（i）的图形图4 a

最后再考虑图2中最大块与最小块的面积差值。

参照图3，将i=1、j=i极代入式（8）得：

同样，参照图4，将i=i极，j=n代入式（8），得：

2.3 分析a=b的情况

a=b，即N1=N2=N，代入式（3）得：

将N1=N2=N代入式（5）得：

将N1=N2=N代入式（8），得：

式（14）的几何意义见图5、图6，它们可以比较形象直观地反映出各个小地块面积的大小及其相互关系：当a=b时，靠路边的2块地面积最大且相等，然后逐渐向中部缩小（且Si=Sn-i+1=Sj），最后收敛于最中部的地块。如果n为奇数，则收敛于第（n+1）/2块（图5）；如果n为偶数，则收敛于第n/2块和n/2+1块（Sn/2=Sn/2+1），如图6。