Diophantine方程x3＋53＝2pqy2的整数解

普粉丽，张汝美，杨吉英

（普洱学院数学与统计学院，云南 普洱 665000）

Diophantine方程x3＋53＝2pqy2的整数解

普粉丽，张汝美，杨吉英

（普洱学院数学与统计学院，云南 普洱 665000）

设p≡13（mod 24）为奇素数，q≡19（mod 24）为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Dio⁃phantine方程x3＋53＝2pqy2无正整数解的一个充分条件.

Diophantine方程；奇素数；整数解；同余；Legendre符号

三次不定方程：

是一类重要的方程，其整数解已有不少人研究过．文献［1］对（1）中a＝1的情况进行了研究；文献［2－3］对方程（1）中a＝2的情况进行了研究；文献［4］对方程（1）中a＝4的情况进行了研究．a＝5时，方程（1）变为：

对于方程（2），目前结果还不多见，当D不能被6k＋1形素数整除时其结论主要见文献［5－6］，当D能被6k＋1形素数整除时其结论主要见文献［7－11］．本文主要讨论D含2，同时含2个6k＋1形素因子方程x3＋125＝Dy2的整数解的情况．

故由引理1得方程（5）至多有2组正整数解，所以此时方程（3）至多有2组正整数解，故当x≡0（mod 5）时方程（3）在题设条件下至多有2组正整数解．

当x≡0（mod 5）时，此时x＋5≡0（mod 5），则方程（3）为gcd（x＋5，x2－5x＋25）＝1或3，又x2－5x＋25≡0（mod 2），则方程（3）可分解为以下8种可能的情形：

下面分别讨论这8种情形下方程（3）的解的情况．

情形Ⅰ 因为x2－5x＋25＝x（x－5）＋25，而x（x－5）为偶数，故x（x－5）＋25为奇数，即x2－5x＋25为奇数．又p≡13（mod 24）为奇素数，q≡19（mod 24）为奇素数，则由x2－5x＋25＝pqb2得b2为奇数，则b2≡1（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得2a2≡0，2（mod 8），则x＝2a2－5≡3，5（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，3（mod 8）．又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）为奇素数，则pqb2≡7（mod 8），因此有1，3≡x2－5x＋25＝pqb2≡7（mod 8），矛盾，故该情形方程（3）无整数解．

情形Ⅱ 仿照情形Ⅰ的证明可知b2为奇数，则b2≡1（mod 8）．又p≡13（mod 24）为奇素数，则pb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得2a2≡0，2（mod 8），因为q≡19（mod 24），则2qa2≡0，6（mod 8），则x＝2qa2－5≡1，3（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，7（mod 8）．因此有1，3≡x2－5x＋25＝pb2≡5（mod 8），矛盾，故该情形方程（3）无整数解．

情形Ⅲ 由x2－5x＋25＝qb2配方得：（2x－5）2＋75＝4qb2，将x＋5＝2pa2代入得：（4pa2－15）2＋75＝4qb2，两边同时取模p得：（4pa2－15）2＋75≡4qb2（mod p）．

情形Ⅳ 由x2－5x＋25＝b2得：x＝－16，－3，0，5，8，21，则2pqa2＝x＋5＝－11，2，5，10，13，26，显然无解，故该情形不成立．

故该情形方程（3）无整数解．

情形Ⅴ 仿照情形Ⅰ的证明可知b2为奇数，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）为奇素数，则3pqb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：6a2≡0，6（mod 8），则x＝6a2－5≡1，3（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，7（mod 8），则有1，7≡x2－5x＋25＝3pqb2≡5（mod 8），矛盾，故该情形方程（3）无整数解．

情形Ⅵ 仿照情形Ⅰ的证明可知b2为奇数，又p≡13（mod 24）为奇素数，则3pb2≡7（mod 8）．

因为q≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：6qa2≡0，2（mod 8），则x＝6qa2－5≡3，5（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，3（mod 8），则有1，3≡x2－5x＋2525＝3pb2≡7（mod 8），矛盾，故该情形方程（3）无整数解．

，故方程（12pa2－15）2＋75≡12qb2（mod p）无整数解，因此该情形方程（3）无整数解．

综上有，当x≡0（mod 5）时方程（3）在题设条件下无整数解．

综上所述，不定方程（3）在题设条件下至多有2组正整数解．

［1］万飞，杜先存.关于Diophantine方程x3－1＝3py2［J］.唐山师范学院学报，2014，36（2）：14－15.

［2］万飞，杜先存.关于丢番图方程x3±8＝Dy2的整数解［J］.唐山师范学院学报，2013，35（5）：27－29.

［3］普粉丽.关于不定方程x3＋8＝py2的整数解［J］.唐山师范学院学报，2014，36（2）：16－17.

［4］万飞.关于不定方程x3＋43＝Py2［J］.唐山师范学院学报，2014，36（5）：3－4.

［5］李复中.关于丢番图方程x3±125＝Dy2［J］.东北师范大学学报：自然科学版，1996（3）：15－16.

［6］李复中.关于一类丢番图方程x3±（5k）3＝Dy2［J］.东北师范大学学报：自然科学版，1998（2）：16－19.

［7］普粉丽，杜先存.关于不定方程x3±53＝3Dy2［J］.海南大学学报：自然科学版，2013，31（4）：292－294.

［8］杜先存，刘玉凤，管训贵.关于丢番图方程x3±53＝3py2［J］.沈阳大学学报：自然科学版，2014，26（1）：85－87.

［9］万飞，杜先存.关于丢番图方程x3±53＝3py2的整数解［J］.湛江师范学院学报，2014，35（3）：5－6.

［10］廖军.关于丢番图方程x3－53＝Dy2的整数解研究［J］.西南民族大学学报：自然科学版，2013，39（6）：907－909.

［11］廖军.关于不定方程x3＋53＝Dy2的整数解［J］.湖北民族学院学报：自然科学版，2013，31（3）：275－277.

［12］管训贵.关于Diophantine方程x3±1＝2pqry2的整数解［J］.郑州大学学报：理学版，2015，47（2）：49－52.

责任编辑：时 凌

On Integral Solution of the Diophantine Equation x3＋53＝2pqy2

PU Fenli，ZNANG Rumei，YANG Jiying
（School of Statistics and Mathematics，Puer University，Puer 665000，China）

Let p≡13（mod 24），q≡19（mod 24），p，q be odd primes.By using the nature of congruent and Legendre symbol，one sufficient condition is obtained that the equation in title has no integral solu⁃tions.

Diophantine equation；odd prime；integral solution；congruent；Legendre symbol

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0264－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.007

2015－08－26.

云南省教育厅科学研究项目（2014Y462）；红河学院校级课题（XJ15Y22）.

普粉丽（1980－），女，硕士，副教授，主要从事数学课程与教学论的研究.