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用“A”字形的性质求角

2015-06-15周金平周国强

初中生之友·中旬刊 2015年5期
关键词:外角平分平分线

周金平 周国强

如图1,E、F分别是∠AOB两边上的点,连接EF,我们不妨把这样的图形称为“A”字形。“A”字形有一条重要性质:∠AEF+∠BFE=180°+∠O(读者可自己证明)。某些求角问题,运用这条性质来解,方便简捷,现举例说明。

图1

例1 如图2,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( )

A.150° B.210° C.105° D.75°

图2

解析 显见AB、AC、DE构成了A字形,由A字形的性质,知∠CED+∠BDE=180°+75°=255°,因为∠1+∠2=255°-∠A′ED-∠A′DE=255°-(180°-∠A′),由折叠,知∠A=∠A′=75°,所以∠1+∠2=150°。故选A。

例2 如图3,△ABC中,∠A=100°,若BM、CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角平分线,则∠M= 。

图3

解析 因为图中AD、AE、BC构成了A字形,由A字形的性质,知∠DBC+∠BCE=180°+∠A=280°。

又因为BM、CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角平分线,所以∠1+∠2=140°。因为∠1+∠2+∠M=180°,所以∠M=40°。

例3 如图4,AB∥CD,∠1=110°,∠E=40°,∠EAB的大小是( )

A.60° B.70° C.80° D.90°

图4

解析 因为∠E =40°,图中AE、BE、CD构成了A字形,由A字形的性质,知∠ACD+∠CDB=180°+∠E=220°。又AB∥CD,∠1=110°。所以∠CDB=110°,从而∠ACD=220°-110°=110°,所以∠EAB=180°-110°=70°。故选B。

例4 如图5,AB∥CD,直线a分别交AB、CD于点E、F,点M在EF上,P是直线CD上的一个动点,(点P不与点F重合)。当点P在射线FD上移动时,∠2+∠3与∠1有什么关系?说明理由

图5

解析 ∠2+∠3=180°+∠1。理由如下:

因为图中FE、FD、MP构成了A字形,由A字形的性质,知∠2+∠3=180°+∠EFP。又AB∥CD,所以∠1=∠EFP。故∠2+∠3=180°+∠1。

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