基于MATLAB的离心泵特性曲线拟合

□ 张 戎 □ 余淑荣 □ 吴明亮

兰州理工大学 机电工程学院 兰州 730050

水泵的特性曲线包括流量扬程曲线Q-H、流量功率曲线Q-N、流量效率曲线Q-η，这些曲线可以直观、全面、准确地反映出水泵的工作性能，对于水泵的设计制造、产品测试、质量改进，以及用户的选型和使用都有重要的意义。由于泵内的实际流动规律十分复杂，相关参数无法从理论上准确计算，因此在实际中需要通过测试来获得相关性能参数，再根据这些参数拟合绘制出水泵的特性曲线［1］。笔者利用MATLAB对离心泵特性曲线进行拟合，并分析其拟合结果。

1 曲线拟合基本原理

曲线拟合就是找出一条光滑曲线，这条曲线要能够反映出一组离散数据的变化趋势，使数据误差的平方和最小，但不要求拟合的曲线经过每个点，这就是最小二乘法曲线拟合。 已知一组测定的数据（xi，yi），i=1、2、...、n，求出自变量 x 与因变量 y 的关系 f（x，A），A=（a0、a1、...、an；b0、b1、...、bn；c0、c1、...、cn）， 若记误差 δi=yif（xi，A），使误差的平方和最小，求出参数 A 的最佳值，即可得到拟合结果 f（x，A）。

2 离心泵特性曲线的数学模型

离心泵性能测试的参数包括流量Q、进口压力p1、出口压力p2、电机输入功率Nm、泵转速ω。测试时通过自动调节出口节流阀，使流量从最大向零变化，直至出口阀关闭［2］。扬程H、轴功率N、泵效率η的计算公式为：式中：Z为压力传感器的垂直位差，m；ρ为介质密度，kg/m3；d1为进口直径，m；d2为出口直径，m；ηm为电机效率；g为重力加速度。

离心泵的特性曲线是非线性的，根据离心泵特性曲线的特征，笔者选用m次多项式作为其拟合模型。设拟合多项式如下：

式中：m=1，2，...，n。

3 离心泵特性曲线的MATLAB拟合方法

MATLAB是集数值计算、符号计算和图形可视化于一体的功能强大和操作简单的应用软件，不需要编写大量的算法程序，只需要调用本身的函数就可以完成复杂的数值计算功能［3］。利用MATLAB中的Polyfit函数进行多项式曲线拟合，其调用格式为：

式中：x，y为测得的实验数据；n为拟合多项式的次数，p为拟合多项式的系数（按降幂排列）。n=1时为线性拟合。由于高次多项式会产生Runge现象，因此除非已知数据来自高次多项式，否则多项式拟合的次数一般不超过 6 次［4］。

离心泵性能测试参数见表1。

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

表1 离心泵性能测试参数

p2=polyfit（q，p，2）

p3=polyfit（q，v，2）

可得到离心泵特性曲线二次多项式拟合系数如下：

p1=－0.017 6 0.025 4 18.473 3

p2=0.001 3 0.010 9 1.247 0

p3= －0.144 6 4.562 9 －0.293 1

拟合后离心泵特性曲线为：

流量扬程曲线Q-H：

H=－0.017 6Q2+0.025 4Q+18.473 3

流量功率曲线Q-N：

N=0.001 3Q2+0.010 9Q+1.247 0

流量效率曲线Q-η：

η=－0.144 6Q2+4.562 9Q－0.293 1

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

＞＞ y1=polyval（p1，q）;

y2=polyval（p2，q）;

y3=polyval（p3，q）;

plot（q，h，′+′，q，y1，′－′，q，p，′+′，q，y2，′－′，q，v，′+′，q，y3，′－′，′linewidth′，2），grid on

可得到拟合后的离心泵特性曲线，如图1所示。

将以上程序p=polyfit（x,y,n）中的n由二阶改为三阶、四阶、五阶、六阶，即可得到不同拟合阶次的离心泵特性曲线。

▲图1 二次多项式拟合曲线

4 拟合曲线的优化度检验

离心泵特性曲线对于泵的设计、制造、改进等有着重要意义，为了得到拟合效果最优的曲线，则需对拟合结果进行分析。

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

＞＞ c1=corrcoef（y1，h）

c2=corrcoef（y2，p）

c3=corrcoef（y3，v）

可分别得到扬程H、轴功率N、泵效率η的测量值与拟合结果的相关系数：

c1=0.998 9

c2=0.999 3

c3=0.999 6

相关系数越接近1，表示实际数据与拟合结果吻合得越好。

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

s1=sse（abs（y1－h））

s2=sse（abs（y2－p））

s3=sse（abs（y3－v））

可分别得到扬程H、轴功率N、泵效率η的测量值与拟合结果的误差平方和：

s1=0.077 0

s2=6.354 2e－004

s3=1.065 9

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

m1=max（abs（y1－h））

m2=max（abs（y2－p））

m3=max（abs（y3－v））

可分别得到扬程H、轴功率N、泵效率η的测量值与拟合结果的绝对误差最大值：

m1=0.176 7

m2=0.015 1

m3=0.597 3

在MATLAB中输入以下程序，并运行：

z1=max（abs（y1－h）/h）

z2=max（abs（y2－p）/p）

z3=max（abs（y3－v）/v）

可分别得到扬程H、轴功率N、泵效率η的测量值与拟合结果的相对误差最大值：

z1=0.005 1

z2=0.004 9

z3=0.010 9

通过以上方法得到测量值与不同阶次拟合结果的相关系数R2、误差的平方和、绝对误差最大值、相对误差最大值，见表2。

表2 拟合结果分析表

根据表2数据，多项式拟合可以较好地反映出离心泵的扬程H、轴功率N、泵效率η随流量的变化情况，拟合精度较高。随着拟合阶数的增加，拟合误差越小，测量值与拟合结果越吻合。

5 总结

MATLAB编程简洁直观，操作简单，采用MATLAB中的Polyfit函数，并辅以Corrcoef、SSE等函数，可以得到精确的拟合曲线，并可以对拟合结果进行分析，确定方法的可行性和精确度。这种方法可以提高工作效率和水泵运行的经济效益，有广泛的实用价值。

［1］ 李建光.矿用离心泵特性曲线拟合方法的比较［J］.河北工程大学学报（自然科学版），2008，25（1）:45-48.

［2］ 张慧敏，龚德利，骆德发.离心泵性能测试的自动化控制系统［J］.流体机械，2003，31（7）:29-32.

［3］ 王宏伟，王蕊，商德勇，等.基于 VB和Matlab混合编程的离心泵测试数据分析［J］.煤矿机械，2008，29（5）：192-193.

［4］ 唐家德.基于MATLAB的非线性曲线拟合［J］.计算机与现代化，2008（6）:15-19.