灰色GRM（1，1）模型的改进

2015-06-12刘银萍

长春工业大学学报 2015年2期

何俊，刘银萍

（郑州升达经贸管理学院共科部，河南郑州 451191）

0 引言

从传统的GM（1，1）模型的建模机理来看，当原始序列为单调递减时，由于其一次累加生成序列是单调递增的，其模拟值是递增的，对模拟值进行累减还原成原始序列的预测值时，就会产生不合理的计算误差。很多学者通过各种变换，如反向累加生成、倒数变换、线性变换，把递减序列变换成递增序列，再建立GM（1，1）模型［1－3］。文献［3］针对原始序列为单调递减的情况，提出了倒数累加生成及灰色GRM（1，1）模型，增强了灰色模型的适应性。但是，背景值z（1）（k）＝λx（1）（k－1）＋（1－λ）x（1）（k）中的参数λ的估计繁琐，导致背景值的计算复杂。结合文献［3－5］将灰色GRM（1，1）模型的背景值改进为

虽然简化了相关参数的计算，但是在发展系数的绝对值较大时，模型的预测精度不高。究其原因，是由于认为x（1）（k）服从齐次指数增长规律。而事实上当原始序列x（0）（k）服从齐次指数增长规律时，其一次累加生成序列x（1）（k）服从非齐次指数增长规律［6］。在此理论基础上，文献［6］将背景值优化为：

使得灰色模型的拟合和预测精度大大提高。此外，传统的GM（1，1）模型，将X（1）的第1个分量x（1）（1）作为初始条件，这是不合理的。文献［7］根据新信息优先原理，将X（1）的第n个分量x（1）（n）作为初始条件。通过以上分析，文中考虑将文献［6］和［7］两种优化方法结合起来，对GRM（1，1）模型进行优化，从而提高了模型的模拟与预测精度。

1 GRM（1，1）模型建模机理

定理1［5］设原始序列X（0）的倒数序列为

其中

对X（0）作一次倒数累加生成序列

其中

对X（1）建立GM（1，1）模型：

式中：λ——已知常数；

a——发展灰数；

u——内性控制灰数。

白化形式的微分方程为：

则

1）参数α＝（a，u）T可由最小二乘法求出

其中

2）连续型响应函数为

3）离散型响应函数为

4）原始序列的模拟值为

2 GRM（1，1）模型的改进

定理2 设X（0）为原始序列

为X（0）的倒数序列，X（1）是X（0）的一次倒数累加生成序列，对X（1）建立GM（1，1）模型：

其中

1）参数α＝（a，u）T可由最小二乘法求出：

其中

2）连续型响应函数为：

3）离散型响应函数为：

4）原始序列的模拟值为：

3 应用实例

文献［8］中给出了N2O5在热分解反应过程中，在等时间间隔里实验测得的分压数据为X（0）＝（24.7，18.5，14.0，10.5，7.8，5.8，4.4，3.3），这里温度T＝318.2K，单位为cmHg（1cmHg＝1 333.224Pa）。现仍然选取前6个数据建立优化GRM（1，1）模型，后2个数据作为预测检验。

由定理2求出α＝（－0.295 8，0.033 7），则得