对分式方程增根和无解的认识

马文韬

学习分式方程后，总认为分式方程无解是因为增根，因为有了增根方程才无解，所以解题时往往出错.

如：分式方程2+=有增根，则增根为 .

∵分式方程2+=有增根，

∴x-2=0，2-x=0，解得：增根为2.

分式方程-1=有增根，增根为_______.

按照上面思路，很容易得到分式方程的增根为1和-2，但老师却说答案错了.

老师帮我分析当增根x=-2时，m=0，经检验，当m=0时，-1=0. x=x-1，方程无解，不存在增根.反思发现自己对增根理解错了，分式方程的增根应该满足两个条件：（1）解分式方程先要去分母，所以增根必须是去分母后整式方程的根；（2）使分母为0的未知数的值.

同样我在做无解这类题时也会考虑不全.

如：若关于x的方程=+1无解，则a的值是_______.

把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值为2.

若关于x的分式方程-1=无解，则m的值为_______.

同样的思路将分式方程转化为整式方程（2m+1）x=-6，代入增根得到m=-.

老师说我又做错了. 他告诉我分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0. 所以遗漏当2m+1=0时，整式方程无解的情况.

教师点评：分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事.因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解. 但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理.

（指导教师：马强）