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2015-06-11赵密密

初中生世界·八年级 2015年6期
关键词:分式化简分母

赵密密

分式在中考中占有一定的比例,它通常以填空题、选择题、计算题和解答题的形式出现,主要考查分式的概念与分式的基本性质的运用,分式的运算,分式的化简求值及利用分式方程解决实际问题等. 针对中考命题趋势,在学习中应夯实基础知识,注重对概念的理解,培养分析、解决问题的能力和对问题的探索能力.

一、 分式有意义、无意义或值为0的条件

例1 (2014·浙江温州)要使分式有意义,则x的取值应满足( ).

A. x≠2 B. x≠-1

C. x=2 D. x=-1

【分析】根据分式有意义,分母不等于0列式计算即可得解.

解:由题意得,x-2≠0,

解得x≠2.

故选A.

【点评】本题考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:

(1)分式无意义⇔分母为零;

(2)分式有意义⇔分母不为零;

(3)分式值为零⇔分子为零,且分母不为零.

例2 (2014·贵州毕节)若分式的值为零,则x的值为( ).

A. 0 B. 1

C. -1 D. ±1

【分析】分式的值是0的条件:分子为0,分母不为0,由此条件解出x.

【解答】由x2-1=0,得x=±1.

当x=1时,x-1=0,故x=1不合题意;

当x=-1时,x-1=-2≠0,所以x=-1时分式的值为0. 故选C.

【点评】分式的值为0的条件中特别需要注意的是分母不能是0,这是经常考查的知识点.

二、 分式的运算

例3 (2014·云南)化简求值:·x-

,其中x=.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.

解:原式=·=x+1,

当x=时,原式=.

【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

三、 解分式方程

例4 (2014·湖北孝感)分式方程=的解为( ).

A. x=- B. x=

C. x= D. x=

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.

解:去分母得:3x=2,

解得:x=,

经检验x=是分式方程的解.

故选B.

【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. 解分式方程一定注意要验根.

四、 分式方程的增根

例5 (2014·四川巴中)若分式方程-=2有增根,则这个增根是_____.

【分析】分式方程变形后,去分母转化为整式方程,根据分式方程有增根,得到x-1=0,求出x的值,若还需求此时m的值,把x的值代入整式方程即可求得.

解:根据分式方程有增根,得到x-1=0,即x=1,则方程的增根为x=1. 故答案为x=1

【点评】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤解决:①使最简公分母为0,确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

五、 分式方程的应用

例6 (2014·江苏扬州)某漆器厂接到制作480件漆器的订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果提前10天完成任务. 原来每天制作多少件?

【分析】设原来每天制作x件,根据原来用的时间-现在用的时间=10,列出方程,求出x的值,再进行检验即可.

解:设原来每天制作x件,根据题意得:-=10,

解得:x=16,

经检验x=16是原方程的解,

答:原来每天制作16件.

【点评】此题考查了分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键,本题的等量关系是原来用的时间-现在用的时间=10.

六、 转化思想、整体思想的运用

例7 (2014·四川凉山)先化简,再求值:÷a

+2-,其中a2+3a-1=0.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,已知方程变形后代入计算即可求出值.

解:原式=÷

=

当a2+3a-1=0,即a2+3a=1时,原式=.

【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

七、 学科内综合问题

例8 (2014·江苏扬州)对x、y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=(其中a、b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)==b.

(1)已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1.

①求a,b的值;

②若关于m的不等式组T(2m,5-4m)≤4,

T(m,3-2m)>p恰好有3个整数解,求实数p的取值范围;

(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),则a,b应满足怎样的关系式?

【分析】(1)①已知两对值,代入T中计算求出a与b的值;

②根据题中新定义化简已知不等式,根据不等式组恰好有3个整数解,求出p的范围即可;

(2)由T(x,y)=T(y,x)列出关系式,整理后即可确定a与b的关系式.

解:(1)①根据题意得:T(1,-1)==-2,即a-b=-2;

T(4,2)==1,即2a+b=5,

解得:a=1,b=3.

②根据题意得:

≤4, ①

>p. ②

由①得:m≥-;

由②得:m<,

∴不等式组的解集为-≤m<,

∵不等式组恰好有3个整数解,即m=0,1,2,

∴2<≤3,

解得:-2≤p<-;

(2)由T(x,y)=T(y,x),得到=,

整理得:(x2-y2)(2b-a)=0,

∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立,

∴2b-a=0,即a=2b.

【点评】此题考查了分式的混合运算、解二元一次方程组,以及一元一次不等式组的整数解,弄清题中的新定义是解本题的关键.

(作者单位:江苏省淮安外国语学校)

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