以分式作利器，解生活之难题

王祖韬

分式方程广泛应用于实际生产、生活中，因此列分式方程解决实际问题成为近几年中考的热点，也是今后中考命题的发展趋势. 近年来的中考中经常结合实际生活进行命题，生活气息越来越浓，与我们生活息息相关的试题越来越多地出现在各地的中考试卷中，例如工作效率问题、行程问题、销售问题、方案设计问题等，题型以解答题为主难度稍大，学科内的综合问题，学科间交叉题均可出现. 解决这类问题的关键是找出题中蕴含的相等关系，据此列出方程，另外还应注意检验. 本文将结合2014年中考题谈谈这类问题的分析解答过程，供同学们学习时参考.

一、 工程问题

例1 （2014·广东梅州）某校为美化校园，计划对面积为1 800 m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，根据在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；

（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可.

解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，根据题意得：-=4，

解得：x=50.

经检验x=50是原方程的解.

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），

答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2、50 m2.

（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：

0.4y+×0.25≤8，

解得：y≥10.

答：至少应安排甲队工作10天.

【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验.

二、 行程问题

例2 （2014·湖北襄阳）甲、乙两座城市的中心火车站A、B两站相距360 km. 一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站. 求动车和特快列车的平均速度各是多少？

【分析】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360-135）km所用的时间相同，列方程求解.

解：设特快列车的平均速度为x km/h，

则动车的平均速度为（x+54）km/h，

由题意，得：=，

解得：x=90，

经检验得：x=90是这个分式方程的解.

x+54=144.

答：特快列车的平均速度为90 km/h，动车的平均速度为144 km/h.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360 km与特快列车行驶（360-135）km所用的时间相同.

三、 销售问题

例3 （2014·山东泰安）某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完.

（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？

（2）超市销售这种干果共盈利多少元？

【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元. 根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；

（2）根据利润=售价-进价，可求出结果.

解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，

由题意，得=2×+300，

解得x=5，

经检验x=5是方程的解.

答：该种干果的第一次进价是每千克5元.

（2）

+-600×9+600×9×80%-（3 000+9 000）=（600+1 500-600）×9+4 320-12 000=1 500×9+4 320-12 000=13 500+4 320-12 000=5 820（元）.

答：超市销售这种干果共盈利5 820元.

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

四、 方案设计问题

例4 （2014·黑龙江牡丹江）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品. 已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1 050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？

【分析】（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；

（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40-a）本，根据“投入的经费不超过1 050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题.

解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得-=10，解得：x=20.

经检验得：x=20是这个分式方程的解，

则1.5x=30.

答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元.

（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40-a）本，根据题意得

30a+20（40-a）≤1 050，

a≥40-a，

解得：20≤a≤25，

所以a=20、21、22、23、24、25，则40-a=20、19、18、17、16、15共6种方案.

【点评】此题考查分式方程的运用、一元一次不等式组的运用，关键是理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题.

列分式方程解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的基本思路和基本方法是一样的，关键是仔细审题，认真分析，探索出问题中的等量关系，列出方程. 但分式方程解应用题过程中还要注意进行“双检验”，既要检验求得的未知数的值是否为所列方程的增根，又要检验是否符合实际意义.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）