平行四边形中考点击

王军

四边形知识是中考的重点内容，纵观近几年的中考试题，四边形以其独特的魅力占据了一席之地，试题从拼图、剪切、分割到阅读理解、科学探究发现应有尽有，题型涉及填空、选择、解答题等各种形式，尤其重视的是与四边形相关的开放探索性问题. 估计四边形试题将继续保持综合性，加大开放性，增强探索性，体现应用性.

考点一 平行四边形的判定方法

1. （2014·云南昆明）如图1所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）.

A. AB∥CD，AD∥BC

B. OA=OC，OB=OD

C. AD=BC，AB∥CD

D. AB=CD，AD=BC

【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断得出答案即可.

【解答】A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项正确；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确；C. 一组对边相等，另一组对边平行，不能判定其为平行四边形，故此选项错误；D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项正确. 故选C.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键.

考点二 平行四边形的性质

2. （2014·湖南益阳）如图2所示，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）.

A. AE=CF B. BE=FD

C. BF=DE D. ∠1=∠2

【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定. 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出即可.

【解答】A. 当AE=CF，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B. 当BE=FD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF，

BE=FD，

AB=CD，

∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C. 当BF=DE，∴BE=FD，同上可得△ABE≌△CDF，故此选项错误；D. 当∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF，故此选项错误. 故选A.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

3. （2014·安徽）如图3所示，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______. （把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.

【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质. 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②延长EF，交CD延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F是AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，

∠ A=∠MDF，

AF=FD，

∠AFE=∠MFD，

∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=FM，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM=EF，故此选项正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故此选项错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确，故答案为①②④.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键.

考点三 平行四边形和三角形联合命题

4. （2014·江苏南京）如图5所示，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）.

A.

，3、

-，4

B.

，3、

-，4

C.

，、

-，4

D.

，、

-，4

【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质. 首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【解答】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F.

∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE.

在△ACF和△OBE中，

∠F=∠BEO=90°，

∠CAF=∠BOE，

AC=OB，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3.

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴=，即=，

∴OE=，即点B

，3，∴AF=OE=，

∴点C的横坐标为-

2-=-，

∴点C

-，4. 故选B.

【点评】此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.

5. （2014·江苏泰州）如图7所示，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC.

（1）求证：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积.

【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；

（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案.

【解答】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，

∴AF=DE，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE，

∴BE=AF.

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图8.

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识. 此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）