指数函数的应用

2015-06-11邓峰汪兰

新课程学习·中 2015年4期

邓峰汪兰

摘要：正指数函数是基本初等函数之一，它不仅是一种重要的初等函数，同时，它在生活、生产等实际活动中也应用广泛。如在疾病控制与统计、生物学、物理学、国民经济活动、存款利率、人口预测、工业生产等问题上都可以运用其进行解决。

关键词：指数函数；疾病控制与统计；生物学；物理学

随着时代的进步，科学技术也在不断创新，其中作为基础也是必不可少的数学有了长足的进步。而指数函数作为数学里的一页也有了前所未有的发展。作为函数中基本初等函数的指数函数，在教学中有着不可取代的地位，同时在生活中也有着广泛的应用。

指数函数并不是在历史上直接出现的，而是在对数函数出现之后。历史上由于天文学等方面的计算量太大，为了找到简便的计算方法而发明了对数函数，针对对数函数求反函数，进而得到指数函数，这一点与现在教材中的顺序是相反的。现如今指数函数已经在教材中为人们所学习，但都是就指数函数的一些基础性学习，而关于指数函数的研究却远不止于此。指数函数已在高等数学、微积分学、微分方程等高等数学中有了较深入的研究，同时，指数函数也在实际生活中有着广泛的应用，如在疾病控制与统计、生物学、物理学、国民经济等方面都有应用。下面进行分类例析：

一、在生活中的应用

例1.保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间是192 h，而在22℃的厨房中则是42 h，（1）写出保鲜时间y（h）关于储藏温度x（℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）；

解析：（1）设此函数为y=kax，则它过（0，192）（22，42）两点，代入（0，192）可确定出k=192，再代入（22，42）点即42=192×a22，从而得到a=（7/32）（1/22），所以y=192（7/32）（x/22）。（2）令x=30，利用计算器算出y=20，令x=16，计算得到y=64，用（1）中结论，指出在30°C的保鲜时间为20 h；16°C的保鲜时间为64 h。（精确到1 h）

二、在疾病控制与统计方面的应用

例2.心脏病人数呈上升趋势，经统计分析，从2000年到2010年的10年间，每两年上升2%，2009年和2010年两年共发病815人。如果不加控制仍按这个比例发展下去，从2011年到2014年将有多少人发病？

解：設从2009年起第x个两年心脏病发病人数为y人，a为第一个两年间的发病人数，依题意得：y=a（1+2%）x-1，显然a=815即y=815（1+2%）x-1（x∈N*）。2011年到2014年总计发病人数为815（1+2%）+815（1+2%）2≈1680（人）。

三、在生物学上的应用

例3.菌在培养过程中每15分钟分裂一次（由一个分裂成2个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经小时。

解：设分裂x次后的细菌数为y，依题意得：y=2x，当这种细菌由1个繁殖成4096个时，y=4096，即4096=2x，所以解得x=12，经过12次分裂。又每15分钟分裂一次，所以需经过15×12/60=3（小时）。

四、在物理学上的应用

例4.死亡生物组织内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了。

（1）死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

（2）大约经过多少万年后，用一般的放射性探测器就测不到碳14了？

解：（1）死亡生物组织内的碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=，当时间经过九个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量为P==（）9≈0.002

答：当时间经过九个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的，所以还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在。