“数据的离散程度”导入中的困惑与思考

程爱

每次上到统计模块中“数据的离散程度”这节时总会有一种在逻辑上不是很顺畅的感觉，总觉得有些话要说，但又总是期盼着别人也和我有同样的感觉，能提出来大家议一议这个话题，解决我心中的困惑。恰在此时，合肥市第48中学孙志峰老师给我们上了一堂高质量的“数据的离散程度”展示课，课后各兄弟学校的代表们各抒己见，说出了各自心中的看法和困惑。市、县的数学教育专家也给我们现场解答了很多困惑，我在此基础上进行整理，谈谈自己的一些看法。

一、在“方差”导入上的困惑

有效的导入能激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，以学生的发展水平和已有的经验为基础，符合学生的认知规律，引领学生寻求解决问题的方法和过程，学生能在解决问题的过程中体会成功的喜悦感。而在这个过程中老师为学生搭建台阶，让学生沿着台阶一步一步走向成功显得尤为重要，课堂教学中台阶的搭建往往要借助于教学情境的导入。教学情境设置的好坏往往是一节课成功与否的关键，而沪科版教材在“方差”这一概念的导入上并没有起到相应的作用。

“数据的离散程度”这一节，沪科版教科书无论是实验版本还是现行版本都沿用了同一个情境进行导入：

问题：两台机床都生产直径为（20±0.2）mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下（单位：mm）：

思考：根据以上结果评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？

我上课一直以来都要求学生：新课要回家事先预习，上课过程中不允许看书。而恰是这一要求使我在上这一课时出现了不和谐的一幕，一位学生在求B组平均数的计算过程中不小心把机床B中最后一个数据19.8看成了20.0来计算，得到xB=20.02mm，于是得到20.02>20.0。这和我的预设发生了冲突，我当时并没有指出这个错误，而是利用这个意外的课堂生成问这位学生：由20.02>20.0，你能得到哪个机床更稳定些？这名学生思考了半天很犹豫地回答：A机床更稳定些。很显然这和问题的结论不符。是置之不理还是加以引导继续探究？经过短暂的思考后我决定继续引导，让大家各抒己见，大家七嘴八舌展开了讨论，但5分钟过后仍然没有结果。事实证明我把问题想简单了，在课堂上我也反复问自己，假如真是xB>xA，那么到底哪个机床更穩定一些？不知道！我真的不知道！是课前准备不充分还是对教材没有吃透？我对自己产生了质疑，随着下课铃声响起，我在尴尬、遗憾和自责中结束了这节课。下课后我直奔办公室，再次研读教材、上网查阅相关资料，没有结果；找同事交流，还是没有结果，数学组的几位同事开玩笑地说：这孩子真会找茬。

真的是孩子在找茬吗？如果是xA=xB，这个“荐”找的好！晚上回到家我反复思考，问题到底出在哪里？是孩子的错，还是教材的错？我再次拿起教材仔细研读查找原因，最后大胆提出一个质疑：教材的导入方法有问题。平均数根本就不能用来比较两组数据的离散程度，教材以平均数来导入新知“方差”的方法本身是有问题的。

教材在分析过程中，把平均数和中位数拿来作为衡量一组数据稳定性的参照量，并且很“巧合”地出现了xA=xB=20.0mm，“中位数也都是20.0mm”。从数据集中趋势这个角度很难区分两个机床加工精度的稳定性，以前学过的知识解决不了这个问题，这时就需要一种新的知识来解决，然后很自然地引入新知识“方差”。教材整个导入过程看似步步为营，实则强拉硬拽、牵强附会。

统计学中，平均数是用来描述数据集中趋势的指标之一。所谓数据的“集中趋势”，就是数据“向某一中心值聚拢的倾向”，或者说是数据的“一般水平、代表值或典型值”，而教材在这里竟然拿来用作衡量一组数据的稳定性，逻辑上有点说不通，给人一种为了情境而情境的感觉。学生在计算过程中的一个不小心，得到20.02>20.0，我们又该下什么样的结论？是A机床稳定还是B机床稳定？是平均数大一点的较稳定还是平均数小一点的较稳定？这么一个不小心，就把前面所有精心布的局踏在脚下，而导致这一问题的根本原因是：平均数根本就不能用来刻画一组数据的离散程度。书本上的导入方法给人一种误导，好像平均数也能刻画一组数据的离散程度，只是没有方差更细致罢了，其实不然。平均数不能用来描述一组数据的离散程度。如果按照教材上的导入方法很容易使学生对数据的集中趋势和数据的离散程度两个概念产生混淆。

二、一点建议

学生在学过平均数这一块知识后，对平均数是反映一组数据的集中趋势并不能马上理解透彻，这时如果再用与之相近的方法或概念去帮助理解反而适得其反，从心理学上是不符合学生的认知规律的。通过七年级的学习学生已经知道，折线图是反映一组数据的变化趋势。教材第117页的问题1，给出的是一条折线图，通过这条折线图，学生很难理解集中趋势的内涵，反而给学生一种是反映这组数据变化趋势的错觉。在教学中如果能把折线去掉，取而代之用一条横线把这一组数据的平均数表示出来（如下图所示）：

则更能让学生感受到：平均数就是描述一组数据“向某一中心值聚拢的倾向”，或者说是数据的“一般水平、代表值或典型值”的内涵。从认知心理学角度来说避免了负迁移的干扰，把变化趋势和集中趋势区分开来，使学生更易理解和记忆，并且也为后面讲到平均数易受极端值的影响埋下伏笔，给学生以直观的感受。

数据的“集中趋势”与“离散程度”这两个概念之间到底有怎样的区别与联系？有人把它们比喻为“爱几分”与“恨几分”，没有爱何来恨，没有恨又怎知爱，爱和恨交织在一起，谁又能把它们区分开？请别再折磨孩子们了，“集中趋势”，请你和“离散程度”保持一定的距离，让孩子能分清楚你们的区别和联系。

教材中的问题6，本身是个非常经典的例子，我在平行班中另外一个班的教学过程中跳过了教材中“平均数”“中位数”的导入过程，直接引导学生从散点图（如下图所示）来观察得出哪一个机床更稳定。

然后再从绝对值的几何意义角度出发去理解一组数据的波动性大小，用偏差绝对值xi-x的平均数

xA=

xB=

来刻画这一组数据的稳定性和合理性，通过数形结合来解决问题，最后自然过渡到方差的概念。整个探究过程显得更流畅，并且在随堂练习中学生的正确率反而更高一些，更重要的是在一年后的中考复习中这一班的学生对这一部分知识掌握得更牢固，在数据的集中趋势和数据的离散程度的应用上区分得更透彻。事实证明这种导入的方法更能让学生接受，整个过程更合情合理，没有牵强附会的感觉，达到了预想中的效果，也提高了课堂效率。

教材中的案例是编写组专家们心血的结晶，很多都是经得起教学实践检验的经典案例，但我们处在一线教学的教师也应在具体的教学过程中大胆提出质疑，对于有些案例应能提出自己的不同见解，有些案例在经过实践和论证后应能针对本校的学情进行再加工，争取做到最大限度地符合本校学情，以提高课堂的有效性。教师不应是单一的知识传递者，还应是知识产生的见证者和参与者。学高为师，身正为范，只有勇于探索和质疑的老师，才能引领学生在知识的海洋中遨游。

以上是我在平时教学中遇到的一些事例和感悟，有不妥之处敬请专家指正。

参考文献：

[1]李晶.有效教师[M].辽宁师范大学出版社，2006.

[2]陈旭远，贺成.有效备课[M].东北师范大学出版社，2008.

编辑 王梦玉