是巧合还是必然

第五河清

在一次高三练考中，一道试题引起大家的讨论，试题是这样的：对某篮球运动员在100场比赛中的得分情况进行统计，得分统计表如下：

在所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于30分的场数为，求的分布列和数学期望。

考试中出现了两种不同的解法：

解法一：按照分层抽样法，在[0，10），[10，20），[20，30），[30，40）内抽出的比赛场数分别为1，2，3，4，的取值为0，1，2，按超几何分布建立的分布列，

求得E=0·+1·+2·=

解法二：的取值为0，1，2，按照二项分布的分布列，求得E=0·+1·+2·=

分布列不一样，为什么期望却一致？是巧合还是必然？我们尝试改变数据进行检验。

改变1：将随机选出2场改为随机选出3场，所得期望分别如下：

二项分布：=np=3×=，超几何分布：

改變2：将随机选出2场改为随机选出4场，所得期望分别如下：

二项分布：E=，超几何分布：E=

结果是期望依然相等，而且，随着数据的增大，两种不同分布列对应概率之间的差距逐渐缩小，我们做出这样的猜想：样本个数越大二项分布和超几何分布的对应概率之间的差距越小，当样本个数无穷大时，二项分布和超几何分布的对应概率相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布，即=Cnkpk（1-p）n-k。参考有关资料，证明我们的直观思想正确，当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变。这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布，人们在实际工作中常利用这一点，把抽取对象数量较大时的无放回抽样（例如破坏性试验发射炮弹，产品的寿命试验等），当作有放回来处理。

编辑 谢尾合