圆的切线证明技巧

张挺雄

圆的切线是九年级数学中的一个重要内容，是在中考中常考的一个知识点。而相当一部分学生在证明一条直线是圆的切线时，有的无从下手，有的证明过程不完整。下面就圆的切线证明归纳总结如下：

一、掌握切线的判定方法，理解切线的概念与特征

1.根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

理解上面的概念，必须抓住两点：①直线经过半径的外端；②直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。

二、如何证明一条直线是圆的切线，一般会出现以下几种情况

1.要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂直”。

例1：如图1，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°，求证：AE是⊙O的切线。

证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∵∠B=60°，∴∠BAC=30°

∴∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

∵BA⊥AE垂足为A

∴AE是⊙O的切线

2.给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则要连接公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明，口诀是“连半径，证垂直”。

例2：如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连OC，弦AD//OC，求证CD是⊙O的切线。

证明：连OD

∵OC//AD，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COB=∠DOC

又∵OB=OD，OC=OC

∴△OBC≌△ODC，

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°

∵∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切线。

3.当直线与圆的公共点不明确时，过圆心作该直线的垂线，然后根据“直线与圆相切的定义”去证明，口诀是“作垂直，证相等”。

例3：如图3，已知OC平分∠AOB，点D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切。

证明：连DE，作DF⊥OB，垂足为F。

∵⊙D与OA相切于点E

∴DE是⊙D的半径，且DE⊥OA

∵OC平分∠AOB，DO在OC上，且DF⊥OB，DE⊥OA

∴DF=DE

∵DF是⊙D的半径

∴OB与⊙D相切

編辑 谢尾合