浅谈方差非负性的应用

马晓英

摘 要：在普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（人教A版）中增加了有关概率方面的一些知识，涉及期望及方差的计算，利用方差的定义及其非负性，可以帮助解决一些中学代数问题。例如，用来求函数的最值，证明不等式，求解方程等.

关键词：数学期望；方差；最值

在概率论中，一组数据x1，x2，x3…xn，的方差公式为S2= （xi-x）2，该公式更进一步可化简为S2= xi2-（ xi）2。类似地，对于离散型随机变量 而言，其方差公式D =E 2-（E ）2为，其中E 为随机变量 的数学期望（也称作数学均值）。我们知道方差具有非负性。因此，利用方差的定义及其非负性，在解决某些最值问题，证明不等式或解方程（组）等方面均有广泛的应用。下面运用离散型随机变量 的方差的非负性解决几个问题.

一、利用方差的非负性证明不等式

例1.已知x，y，z>0，并且 + + =2.

求证： + + ≤ .

（第一届“希望杯”全国数学邀请赛备选题）

证明：法一：令x=tan ，y=tan ，z=tan ，其中 ， ， 均为锐角，由已知条件可得，sin2 +sin2 +sin2 =2，所以，cos2 +cos2 +cos2 =1.由柯西不等式知，

2×1=（sin2 +sin2 +sin2 ）（cos2 +cos2 +cos2 ）≥（sin cos +sin cos +sin cos ）2

因此， （sin2 +sin2 +sin2 ）≤ ，而 （sin2 +sin2 +sin2 ）= + + ，

所以， + + ≤ .

法二：構造概率模型：

设 ～ ，则

E = + + ，E 2= + + =2，

由D =E 2-（E ）2=2-（ + + ）2≥0，得

（ + + ）2≤ ，而x，y，z>0，

所以， + + ≤ .

法一是根据已知条件构造三角函数，并且运用了换元法和柯西不等式，在解题过程中计算量较大，而法二就显得略为简单.

二、利用方差的非负性求函数的最值

函数的最值问题在中学数学中有着很重要的地位。我们可以利用函数的单调性，图象等方法确定函数的最值。下面把这个方法介绍给大家，希望能对大家有所帮助.

例2.求y= + 的最大值.

解：构造概率模型： ～

则E = + = （ + ）= y

E 2= [（ ）2+（ ）2]= （a-b）

由D =E 2-（E ）2≥0知 （a-b）-（ y）2≥0，所以y2≤2（a-b）（a≥b），故y≤ ，当且仅当 = ，即x= 时等号成立，从而ymax= .

三、利用方差求解方程

对于我们所熟悉的一元一次方程和一元二次方程，都可用公式法求解。但是对于二元二次方程或者是多元二次方程，没有特定的解法，而下面的解法相信会受到大家的青睐。

例3.求满足x2+（y-1）2+（x-y）2= 的一切实数对（x，y）.

解：将原方程化为（-x）2+（y-1）2+（x-y）2=

构造概率模型： ～ ，则

E = （-x）+ （y-1）+ （x-y）= （-x+y-1+x-y）=-

E 2= （-x）2+ （y-1）2+ （x-y）2= [（-x）2+（y-1）2+（x-y）2]= × =

从而D =E 2-（E ）2= - =0，因此，有-x=y-1=x-y，

即 （1）

由（1）式知 ，所以，满足原方程的实数对（x，y）有（ ， ）.

以上为本人在自己的教学过程中一点细小的总结，不足之处，还请指教。

参考文献：

茆诗松.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，2011-06.

编辑 段丽君