三自由度冲击碰撞系统的动力学分析*

汪健龙

(兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州 730070)

0 引言

机械系统中的零部件往往存在着间隙，在外激励的作用下，零部件之间会发生碰撞、摩擦，从而影响工作人员的舒适度与设备的寿命。因此，有必要对碰撞问题进行研究，以便机械系统工作在最理想状态。近年来，国内外许多学者在这一方面展开了研究。Wen［1］等以两自由度碰撞系统为研究对象，分析了系统由周期倍化分岔［2］、概周期分岔向混沌转迁的过程。Wagg［3］在粘滞的条件下考虑了两自由度碰撞振子的分岔类型。马永靖［4］等研究了三自由度碰撞系统在四阶强共振情形下Hopf分岔和次谐分岔以及向混沌的演化过程。文献［5］、［6］针对因周期运动［7］失稳而出现的Hopf－flip余维二分岔，分析了在共振与非共振情形下的动力学特性。

文中以工程实际中常见的碰撞系统为力学模型，运用解析法求得其周期解。基于Poincaré映射理论，通过计算机编程仿真了冲击碰撞系统的概周期运动、余维二分岔及混沌演化过程。

1 系统的动力学模型及其周期运动

如图1所示是一类冲击碰撞系统的力学模型，它可以是工程实际中许多碰撞问题的简化。质量分别为M1、M2的振子通过刚度为K2/2的线性弹簧和阻尼系数为C2/2的线性阻尼器连接在一起。振子M1、M3又通过刚度分别为K1、K3的线性弹簧和阻尼系数为C1、C3的线性阻尼器连接于固定面。三个振子受到大小为 Pisin(ΩT+τ)(i=1，2，3)的简谐激振力，它们只在水平方向来回运动。当X1－X3=Δ时，振子M1将与振子M3发生碰撞。文中的阻尼为Rayleigh型比例阻尼;Δ为系统处于平衡位置时，振子M1与振子M3之间的间隙;碰撞过程取决于碰撞恢复系数R，忽略碰撞持续时间。

图1 三自由度冲击碰撞系统模型图

无量纲变换后系统(x1－x3＜δ)的运动微分方程为:

在方程(1)和(2)中，“·”表示对时间t求导数。无量纲量如下:

x1－x3=δ时，M1和M3发生碰撞，质块M1和M3的冲击方程及碰撞恢复系数R为:

将ψ作为变换矩阵，进行坐标变换:

从而方程(1)可以解耦为:

设方程的通解形式如下(i=1，2):

式中:ψij为正则模态矩阵 ψ 的元素;ηj= ζωj，ωdj=Aj和 Bj为振幅常数(j=1，2)，可通过将稳态解回代式(7)求得A3，B3可同样解得。由系统周期运动的边界条件，可以解出积分常数 aj、bj(j=1，2，3)及相位角 τ。

2 碰振系统的Poincaré映射、分岔及混沌

在以上周期运动的基础上，来考虑系统的扰动方程。对于图1表示的受扰运动，令质块M1与质块M3碰撞后瞬时t=0，则两振子再次碰撞前瞬时，时间t=2nπ/ω，Δθ=Δτ'－Δτ。

令 te=(2nπ+Δθ)/ω，通常情况下，为了分析系统的动力学问题，要建立Poincaré截面。在这里，选择Poincaré截面σ为:

将边界条件(t=te)代入到扰动方程可确定Poincaré映射，简要地表示为:

式中:ν∈R 表示分岔参数，它可以是 ω，R，δ，μm2，ζ，μm3，μk2，μc3等参数中的任何一个。

选择一组无量纲系统参数值:

um3=1.5，um2=0.44，uk2=1.15，uc3=0.8，uk3=1.05，ζ=0.001，R=0.65，δ=0.025，将激励频率 ω 作为分岔参数。当特征值全部位于单位圆内部时，系统的周期运动处于稳定状态。当ω减小到ωc=1.307时，一对复共轭特征值从非常接近(0，±i)处穿越圆周，剩余的特征值都位于单位圆内部，满足四阶强共振条件下的亚谐分岔，如图2。

图2 特征值穿越图

数值仿真结果表明:当分岔参数ω＜ωc=1.307时，冲击碰撞系统具有稳定的q=1/1周期运动。随着ω减小穿越ωc时，稳定的q=1/1周期运动失稳发生亚谐分岔，出现四条“轨道”形成q=4/4不动点，如图3(a)。当ω=1.3063时，q=4/4不动点发生周期倍化形成了q=8/8周期运动，如图3(b)。伴随着ω继续减小，q=8/8周期运动将失稳分岔出T18/8环，如图3(c)。紧接着ω=1.3057时，T18/8环发生了环面倍化分岔出2T18/8环，如图3(d)。碰撞系统最终经环面倍化演化为混沌，如图3(e)、(f)所示。

选择另一组无量纲系统参数值:

um3=1.71，um2=0.64，uk2=1.15，uc3=1.08，uk3=0.016，ζ=0.002，R=0.685，δ=0.02。同样选择 ω为分岔参数，ω＞ωc=1.249时，特征值全部在单位圆的内部，此时系统的周期运动呈稳定状态。随着ω减小至ωc=1.249时，有一对复共轭特征值和一个－1的实特征值横截单位圆周，剩下的特征值都位于单位圆内部，穿越趋势见图4，由判断条件可知满足Hopf－flip余维二分岔，图5为Poincaré映射投影图。

图3 Poincaré映射投影图

图4 特征值穿越图

图5 Poincaré映射投影图

数值仿真过程中，当ω＞ωc=1.249时，碰撞系统呈现稳定的q=1/1周期运动，当ω=1.247时，q=1/1周期运动经倍化分岔形成了q=2/2周期运动，如图5(a);当ω继续减小时，q=2/2周期运动发生Hopf分岔，出现两个概周期吸引子即T12/2环，过程如图5(b)、(c);当激振频率ω进一步远离分岔值时，发生环分岔生成3T12/2环，如图5(d);ω =1.239 时，又经过环面倍化出现6T12/2环，如图 5(e);其后，ω =1.238时，运动状态转迁为混沌运动，如图5(f)。

3 结论

在强共振情形下，三自由度冲击碰撞系统可以发生次谐分岔，形成四条“轨道”，又经倍化分岔演化为混沌。

选定恰当的参数，该系统也可发生余维二分岔，先倍化后发生Hopf分岔，即存在q=2/2周期运动的Hopf分岔，并且其中也存在环分岔现象。

通过以上的分析，可以为实际机械系统的动力学优化设计提供参数依据，可尽量避免共振点与多“轨道”，以免机械设备受损。

［1］ Wen G L，Xie J H.Period－doubling Bifurcation and Non－typical route to Chaos of a Two－degree－of－freedom Vibro－impact System［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，2001，68(4):670 －674.

［2］ 张永燕.一类三自由度含间隙系统的动力学分析［J］.机械研究与应用，2012(1):9－11.

［3］ Wagg D J.Periodic Sticking Motion in a Two－degree－of－freedom Impact Oscillator［J］.Int.J.Non – Linear.Mech，2005，40(8):1076－1087.

［4］ 马永靖，丁旺才.碰撞振动系统四阶共振下的Hopf分岔和次谐分岔［J］.工程力学，2007，24(7):33－38.

［5］ 罗冠炜，张艳龙，张建刚，等.冲击振动成型机周期运动的Hopf－flip余维二分岔与混沌［J］.工程力学，2007，24(9):140－147.

［6］ 郑小武.一类周期系数力学系统的Hopf－flip分岔［J］.振动工程学报，2007，20(4):412－416.

［7］ 张彦梅，陆启韶，李群宏.一类双自由度碰振系统的亚谐周期运动存在性［J］.动力学与控制学报，2003，1(1):39－34.