一阶常微分方程具有乘积形式积分因子的存在条件及应用

2015-06-10李耀红

宿州学院学报 2015年9期

关键词：宿州乘积学报

李耀红,王琳

1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000；2.许昌幼儿师范学校，河南许昌，461700

一阶常微分方程具有乘积形式积分因子的存在条件及应用

李耀红1,王琳2

1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000；2.许昌幼儿师范学校，河南许昌，461700

讨论了一阶常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的求解问题,给出了方程具有一类形如f(a1xα1+b1xs1yt1+c1yβ1)g(a2xα2+b2xs2yt2+c2yβ2)乘积形式积分因子的充要条件，并结合实例讨论它的应用。该结果推广了相关文献的结论。

一阶常微分方程；乘积形式积分因子；全微分方程

1 问题的提出

全微分方程是一阶常微分方程中一类重要的方程。通常只要利用某些特定条件，判定某个一阶微分方程为全微分方程，其通解就能直接由公式给出。因此寻找一阶常微分方程：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(1)

的积分因子μ(x,y)，使得一阶常微分方程：

μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0

成为全微分方程，是一种求解方程(1)简单实用的方法。

对一些具有简单特殊形式积分因子存在性条件，文[1-4]进行了讨论；文[5-8]则对一些复合型积分因子的存在性定理和计算公式进行了探讨；文[9-11]讨论几类具有乘积形式的积分因子问题求解。结合上述文献的研究结果，本文讨论方程(1)具有一类形如

f(a1xα1+b1xs1yt1+c1yβ1)g(a2xα2

+b2xs2yt2+c2yβ2)

(2)

乘积形式积分因子存在的充要条件,它更具一般性，并结合实例说明上述形式因子的求解。

2 主要定理

引理[1]：连续可微函数μ(x,y)≠0为方程(1)的积分因子的充要条件是：(μM)y=(μN)x。

定理1 方程(1)具有形如(2)的乘积形式积分因子的充要条件是：

(My-Nx)/{f′(z1)g(z2)[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]+f(z1)g′(z2)×[N(a2α2xα2-1+b2s2xs2-1yt2))-M(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)]}=1/f(z1)g(z2)

(3)

其中ai,bi,ci,αi,βi,si,ti是任意常数，且zi=aixαi+bixsiyti+ciyβi，i=1,2。

证明：由引理1知，式(2)是方程(1)的乘积形式积分因子的充要条件是：

(fgM)y=(fgN)x

即有：

fygM+fgyM+fgMy

=fxgN+fgxN+fgNx

故有：

f′(z1)(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)g(z2)M+f(z1)g′(z2)(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)M+f(z1)g(z2)My=f′(z1)(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)g(z2)N+f(z1)g′(z2)(a2α2xα2-1+b2s2xs2-1yt2)N+f(z1)g(z2)Nx

整理后立即得(3)式，于是定理1得证。

注1：在定理1中,若令g(z2)=1，即得文[2]中定理1；若令a1=c1=b2=0，即得文[9]中的定理1；若令a1=c1=1,b1=0,可得文[10]定理1。若令b1=b2=0，即得文[11]中的定理1。故本定理推广了多个相关文献结果。

推论1 若存在函数F(z1)使得等式：

(My-Nx)/[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)

-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]=F(z1)

下面给出方程(1)具有形如(2)的乘积形式积分因子的求解方法。

定理2 若方程：

g(z2)M(x,y)dx+g(z2)N(x,y)dy=0

(4)

满足

{g(z2)(My-Nx)+g′(z2)[M(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)-N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)]}/g(z2)

×[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]=F(z1)