检测相对于双基准的直线倾斜度误差的程序设计

温英明

(广州移讯网络科技有限公司，广州 510620)



检测相对于双基准的直线倾斜度误差的程序设计

温英明

(广州移讯网络科技有限公司，广州 510620)

介绍了检测相对于双基准的直线倾斜度误差的数学处理和程序设计框图。采用了平行线原则辅助确立包容面，保证最小直径的圆柱面的轴线与第一基准要素成理论正确角度、平行于第二基准平面，且与第二基准平面距离为图纸给定的理论值，同时取得定向最小包容区域，从而计算得到直线的倾斜度误差。

双基准；倾斜度误差；数学处理；程序设计；平行线原则

0 引言

倾斜度误差是指被测实际要素对其相对于基准成一理论角度的理想要素的变动量。倾斜度误差分为4种：平面对基准直线的倾斜度误差、平面对基准平面的倾斜度误差、直线对基准直线的倾斜度误差和直线对基准平面的倾斜度误差[1]。前两种倾斜度误差的被测要素为平面，后两种倾斜度误差的被测要素为直线，其计算方法更加复杂。

对于倾斜度误差检测的文献有不少，但有关采用计算机编程的数学模型方面的文献不多。关于倾斜度误差计算的文献中，对于辅助要素的确定往往借助于被测要素事先拟定的“理想要素”(拟合平面或直线)。这样的“理想要素”(拟合平面或直线)的方位显然影响了评定误差的包容要素方位的正确确定，从而使计算出的误差将包含原理误差。文献[2-4]倾斜度的误差计算，对于被测要素(面或线)均先进行拟合(以下称之为拟合法)，再根据拟合后的要素建立辅助要素(面或线)。这样就无法保证包容实际要素的区域为最小包容区域[5]。由此确立的包容面与最小包容区域的包容面往往不相符,因此计算得到的误差将包含原理误差。

直线对基准平面的倾斜度误差又有单一基准平面和双基准平面两种情形。有关评定轴线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差方面的文献不多。文献[6-7]是完全相同的两篇文章，提出了一种评定轴线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差。两文中有几处把数积式子写成矢量积式子，估计是笔误，否则有关式子不成立。该算法通过坐标的旋转变换确定评定轴线。略去笔误不说，问题在于该评定轴线在旋转变换之前是由最小二乘法确定的，与B基准平面一般不平行，而最后又以被测直线上的点到评定轴线的距离来评价倾斜度误差，评定轴线本身已经不合理，因此无法保证误差评定符合最小包容区域原则。

以下将介绍笔者研制的评定轴线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差的数学处理和JAVA程序设计框图。本计算方法与已有文献介绍的方法不同，为了表述方便称之为“平行线原则”。

1 “平行线原则”评定原理

先简单介绍直线对基准平面的倾斜度误差定义。对于任意方向的倾斜度误差值为包容被测实际线，且与基准平面A成一理论角度的圆柱面定向最小区域直径f(图1)。具有最小直径的圆柱面与被测实际线至少有2点或3点接触。

图1 直线的倾斜度误差

对于双基准平面在任意方向的倾斜度误差，还必须保证最小直径的圆柱面的轴线平行于B基准平面，且与B基准平面距离为图纸给定的理论值。

把包容被测实际线且具有最小直径的圆柱面的轴线称为评定轴线，其方向是确定的，即既要与基准A成一理论角度,又要与B基准平面平行。评定轴线的位置被限定在与B基准平面距离为图纸给定的理论值的平行平面上(“平行线原则”的含义)，却又尚未完全确定。如何完全确定评定轴线的位置成为解决问题的关键。

假设被测直线L对基准平面A的理论倾斜角度为θ，且与B基准平面距离为图纸给定的理论值t。基准平面A和B按国家标准形状误差评定规则确定(本文不作详细介绍)，为默认的正交平面[1]。评定轴线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差的JAVA程序设计框图见图2。

图2 程序设计框图

1)输入被测直线点坐标数据以及基准平面A点坐标数据(或经过一点和法线方向数)、基准平面B点坐标数据(或经过一点和法线方向数)、倾斜角度θ以及被测直线与B基准平面距离t。

2)把基准平面A旋转为水平面(如果输入的是点坐标数据则应先求基准平面A法线a),(实际只要旋转基准平面B和被测直线L的点坐标数据)。

3)求基准平面B法线方向b和位置。

4)把基准平面B绕Z轴旋转为正平面，然后平移至与XOZ平面相距理论值t(注意平面B的法线正负方向)，使评定轴线(被测直线的理想位置)与XOZ平面重合(只要旋转和平移被测直线L的点坐标数据)。

5)再把被测直线点坐标数据绕Y轴旋转理论倾斜角度。目的就是使包容被测直线的圆柱面的轴线(评定轴线)旋转为铅垂线，包容被测直线的圆柱面在XOY平面上的投影为圆。

6)求被测直线点坐标水平投影的最小包容圆直径(实际是最小包容圆柱面直径)，即是直线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差。

现在要注意的是这个最小包容圆(最小包容圆柱面)的中心应位于OX轴上(经过上述1)～5)步运算和变换已经位于OX轴上)，但包容圆中心的X坐标值未知。所以最小包容圆直径的求取与单纯的直线度误差求取方法不同，应该以下面两种方法求取包容圆中心的X坐标值，以便计算出最小包容圆直径。

① 任意选取被测直线上一点M(x1,y1,z1)，作OX轴的垂线，与OX轴相交于O1。以O1为圆心，O1M为半径作圆(图3)。判别该圆是否包容所有被测点。如果该圆包容所有被测点，则该圆为候选的最小包容圆。

图3 一点作圆

图4 二点作圆

② 任意选取被测直线上两点M(x1,y1,z1)和N(x2,y2,z2)，作中垂线与OX轴相交于O2。以O2为圆心，O2M为半径作圆(图4)。判别该圆是否包容所有被测点。如果该圆包容所有被测点，则该圆为候选的最小包容圆。

遍历所有被测直线上的点，求取所有候选的最小包容圆后，其最小直径即为直线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差。

以上方法保证了理论被测要素的方向由基准和理论正确尺寸确定，定位最小包容区域是与公差带形状相同、按理论被测要素的位置、包容实际被测要素且具有最小直径的区域。

2 实例

检测如图5的零件。表1是应该输入的被测轴线的点坐标数据，它是由圆柱孔选取7个截面提取点坐标经过圆度误差计算而得到的(圆度误差的计算从略)；表2是应该输入的基准平面A的数据，它是由上表面提取点坐标经过平面度误差计算而得到的(平面度误差的计算从略)；表3是基准平面B的数据，它是由侧表面提取点坐标经过平面度误差计算而得到的。被测轴线理论正确位置与基准平面B距离为80。被测轴线对基准平面A的理论正确角度为60°。计算得到的位置度误差为0.0849。

表1 被检测轴线的点坐标数据(每格为一个点的x,y,z)

表2 基准平面A的数据

表3 基准平面B的数据

3 结论

通过如图5的实例检验以及实际应用，本设计软件计算结果唯一且准确，对于被测要素为直线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差的评定十分方便，完全符合最小包容原则。

图5 实例模型

但在计算速度方面，专家建议尚可改进。例如选X坐标相差最大的两点作中垂线交OX轴于O1点，过此两点以O1为圆心作圆，若包容所有点，则此圆为所求；若有若干点在圆外，选偏离该圆最远点C分别与原来两点作中垂线，可以在OX轴上得到两个交点。选距离O1最近的交点作圆心，过C点作圆，则此圆为所求。所设计软件最大特点是，评定被测要素为直线对双基准平面在任意方向的倾斜度误差，完全符合评定误差的基本原则——最小包容原则。

[1] GB/T 1182—2008产品几何技术规范(GPS)几何公差形状、方向、位置和跳动公差标注

[2] 甘永立.形状和位置误差检测.北京：国防工业出版社，1995

[3] 孙华平.基于UG/Open GRIP的面对面倾斜度误差的评定.北京：工程图学学报，2008(1)

[4] 蔡改贫.辅助平面法评定平面对平面倾斜度误差的数学模型.宇航计测技术，1994(12)

[5] 汪恺.形状和位置公差.北京：中国计划出版社，2004

[6] 蔡改贫.任意方向轴线对平面倾斜度误差的评定.实用测试技术，1997(11)

[7] 蔡改贫，罗小燕，刘飞飞,等.多基准轴线对平面倾斜度误差的解析评定.计量技术,1998(3)

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.12.11