拱脚转动对圆拱稳定性的影响研究

邓一三，徐 斌，王燕楠

(1. 中国中铁西南科学研究院，四川 成都 610031；2.西南石油大学 机电工程学院，四川 成都 610500)



拱脚转动对圆拱稳定性的影响研究

邓一三1，徐 斌1，王燕楠2

(1. 中国中铁西南科学研究院，四川 成都 610031；2.西南石油大学 机电工程学院，四川 成都 610500)

根据能量法，建立基于拱脚转动的平衡方程和平衡稳定性方程，分析了拱脚转动对两端固支圆拱屈曲性能的影响。研究表明：拱脚转动将导致拱的极限屈曲荷载减小，越是深拱，其影响越明显；拱的长细比越小，拱脚转动对极限屈曲荷载的影响越明显；拱脚转动将改变拱屈曲方式的拱型几何参数分界值，反对称的平衡分岔屈曲的范围将随着拱脚转动的增加而扩大。

桥梁工程；拱脚转动；屈曲荷载；屈曲方式；能量法

拱结构以其优美的结构造型、简洁的传力路径和经济的造价被广泛应用于桥梁与建筑结构，其稳定性问题的研究也一直备受关注。

1962年，A．Gjelsvik，等[1]首次应用能量法研究了集中荷载下变截面固支拱的屈曲问题；随后H．L．Schreger，等[2]对固支矩形截面拱的对称屈曲进行了分析；J．F．Dickie，等[3]研究了铰支和固支矩形截面浅圆拱的屈曲问题；Pi Yonglin，等[4]研究了支承刚度和冲击荷载对临界荷载以及屈曲方式的影响；M．Jiho，等[5]研究了抛物线铰支拱的非线性屈曲性能。近年来，国内学者也对拱的屈曲稳定性问题进行了大量的研究[6]。剧锦三，等[7]研究了拱结构的弹性二次屈曲性能；戴莉莉，等[8]和李召兵，等[9]在拱的屈曲分析中引入突变理论；陈浩军，等[10]用有限元法研究了拱结构屈曲的几何非线性特性；程鹏，等[11]完整的考虑了横向应力和剪应力的二阶效应，推导了拱的非线性平衡方程；卫星，等[12]在拱的面内弹性屈曲中考虑了二阶效应。

随着现役拱桥和拱结构建筑建造年龄的增长，往往因局部地基承载力不足导致拱脚扰动，从而对拱结构的承载能力及稳定性产生不利的影响。笔者以两端固支圆拱为对象，研究在不同的拱的长细比和深坦度下，拱脚转动对拱结构承载能力和稳定性的影响。

1 拱脚转动引起的弯曲和膜应变

当拱脚支承处发生转动时，将引起超静定固支拱内的附加内力。根据弹性中心法，拱脚左端发生逆时针转脚位移时，拱圈内的弯曲应变εb和膜应变分εm为：

(1)

(2)

式中：rx为截面的惯性半径；f为拱高；ys为弹性中心到拱顶的距离；R为拱半径；L为拱跨；Θ为拱张开角的1/2。

拱的几何形状见图1。

图1 拱的几何形状和坐标

2 基于拱脚转动的屈曲临界平衡稳定方程

根据结构总势能定义，并将总势能表达式除以常量E·A·R，得到修正的结构总势能：

(3)

根据结构稳定性的能量准则，总势能的一阶变分为0时结构处于平衡临界状态，可得到径向和轴向的平衡方程分别为：

n3)=0

(4)

(5)

式中：μ2=NR2/(EI)；N是常数，为膜应力的合力。

根据膜应变等于拱结构的平均轴向应变，可建立补充方程：

(6)

联立平衡方程式(4)、式(5)和补充方程式(6)，并代入两端固支圆拱的边界条件，可得考虑拱脚转动的临界平衡方程：

(7)

式中：H′和G′均是关于μ，α，Θ，S，和λs的函数；S为拱轴线长度；λs=0.25(S/rx)(S/R)为拱型几何参数，S/rx反映了拱的长细比，S/R反映了拱的深坦度；β=(Ncr-N)/N；Ncr=qcrR为平衡临界状态下考虑拱脚转动的组合名义轴力。

3 基于拱脚转动屈曲平衡稳定性分析

总势能的2阶变分为0，显示了结构平衡从稳定状态到不稳定状态的过渡，为屈曲发生的标志。总势能式(3)的二阶变分为：

(8)

令δ2Π*=0，可得到径向和轴向的平衡稳定方程分别为：

(9)

根据膜应变等于拱结构的平均轴向应变，可建立补充方程：

(10)

拱的面内屈曲方式分别为反对称的分岔屈曲和对称的极值点屈曲。

3.1 基于拱脚转动的反对称分岔屈曲平衡稳定性

εmb=0

(11)

将平衡稳定方程(9)和补充方程(11)联立，并代入固支圆拱边界条件，可得反对称平衡分岔屈曲下结构平衡稳定的临界条件：

μΘ=1.430 3π

(12)

联立式(7)与式(12)，即可求出未知量β和μ，从而得到反对称平衡分岔屈曲时临界状态下的Ncr值，最终求得反对称平衡分岔屈曲的临界荷载qcr。

3.2 基于拱脚转动的对称极值点屈曲平衡稳定性

C1·β2+C2·β+C3=0

(13)

式(13)也是关于未知量β和μ，并与拱脚转角位移α和拱型参数λs有关的方程。同理可通过联立式(7)与式(13)，求得对称极值点屈曲的临界荷载qcr。

4 拱脚转动对屈曲性能影响分析

拱脚转动对屈曲性能的影响主要体现在对拱的极限屈曲荷载大小、屈曲方式的影响，以及产生拱脚转动时，长细比和深坦度对拱屈曲性能影响的变化。

笔者研究了径向均布荷载作用下，两端固支圆拱在拱脚左端发生逆时针的转角位移时，不同参数下拱脚转动对拱的屈曲性能的影响(拱体的弹性模量E=3.3e11 Pa，截面惯性矩I=0.046 875 m4，截面高H=0.866 m，截面面积A= 0.75 m2)。

图2描述了拱的长细比S/rx=100时(S/rx一定，λs反映了拱的深坦度)，不同的深坦度下(λs分别为52.36，31.42，22.44和13.09)Ncr/NFB值随拱脚逆时针转角α的变化规律。

图2 拱脚转动的α-Ncr/NFB图

图2中：NFB=(1.430 3π)2EI/(S/2)2为无拱脚转动的临界轴力[14]。可见：越是深拱，Ncr/NFB值越明显的随着拱脚转角α的增大而减小；而拱越坦，则影响越不明显。表明当拱的长细比一定时，不同深坦度下，拱脚的逆时针转角位移对极限屈曲荷载的影响不同。

图3描述了拱的长细比S/rx=100时，在不同的拱脚转动下(α分别为0，π/40和π/20)Ncr/NFB值随λs的变化。可见：①当拱脚转角α一定时，随着λs值的减小，拱的屈曲方式逐渐从反对称的平衡分岔屈曲变为对称的极值点屈曲；②当拱脚左端产生α=π/40和α=π/20的逆时针转角位移时，屈曲方式的拱型几何参数分界值由无拱脚转动时的λs≈17.5分别变为λs≈17.1和λs≈16.8，表明逆时针拱脚转动扩大了拱反对称分岔屈曲的范围。

图3 拱脚转动的λs-Ncr/NFB图

图4描述了拱脚转动一定时(α=π/20)，不同的长细比下(λs/Θ分别为25，50，75和100)，Ncr/NFB值随拱的深坦度Θ的变化。可见：当拱的深坦度一定时，拱脚转动对极限屈曲荷载的影响随着长细比的增加而减小。即当拱的长细比较小时，拱脚转动对极限屈曲荷载的影响较大，反之则较小。

图4 拱脚转动的Θ-Ncr/NFB图

5 结 语

以固支圆拱为研究对象，通过能量法建立了基于拱脚转动的平衡方程和平衡稳定性方程，分析了拱脚转动对拱屈曲性能的影响。研究表明：拱脚转动将导致拱的极限屈曲荷载减小，越是深拱，其影响越明显；拱的长细比越小，拱脚转动对极限屈曲荷载的影响越明显；拱脚转动将改变拱屈曲方式的拱型几何参数分界值，反对称的平衡分岔屈曲的范围将随着拱脚转动的增加而扩大。

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Effects of Angular Displacement of Skewback on Stability Performance of Circular Arch

Deng Yisan1, Xu Bin1, Wang Yannan2

(1. China Southwest Research Institute of China Railway Engineering Co. Ltd., Chengdu 610031, Sichuan, China; 2. School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, Sichuan, China)

According to the energy criterion of structure stability, the balance equation and the equilibrium stability equation were obtained. Next, the effects of angular displacement of skewback on buckling performance of circular arch were worked out by means of the simultaneous solution of balance equation and equilibrium stability equation. The following conclusions can be drawn from the above research: the angular displacement of skewback will lead to the decrease of buckling load of deep arch; the effects of angular displacement of skewback on buckling load are changed by opening angle of arch; the effects of angular displacement of skewback on buckling load are more evident with the decrease of slenderness ratio of arch; the dividing values of geometric parameter of arch are enlarged with the increase of angular displacement of skewback.

bridge engineering; angular displacement of skewback; buckling load; buckling mode; energy method

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.01.05

2013-11-20；

2014-02-23

国家自然科学基金项目(51174173)

邓一三(1982—)，男，四川南充人，工程师，硕士，主要从事结构稳定性分析方面的研究。E-mail:dphqbys@163.com。

TU501；TU511.3

A

1674-0696(2015)01-022-03