一个扩展的r矩阵及其应用

徐英，王素霞

(淮南师范学院金融学院，安徽淮南232038)

一个扩展的r矩阵及其应用

徐英，王素霞

(淮南师范学院金融学院，安徽淮南232038)

发展并应用孤立子方程的谱问题非线性化方法到对称矩阵Kaup－Newell方程上.得到了一个扩展的r矩阵，并应用r矩阵方法证明了对称矩阵kaup－Newell方程的有限维Hamilton系统是Liouville完全可积的.

对称矩阵Kaup－Newell方程;谱问题非线性化;r矩阵;可积Hamilton系统

1 引言

著名的r矩阵理论［1］经常被应用于研究约束孤子流，由孤子方程通过谱问题非线性化［2－12］可以得到这些约束孤子流的有限维可积Hamilton系统.所有这些约束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其守恒积分可以由trLk，k∈Z表示，又由r矩阵关系

可以得到对合关系

本文研究对称矩阵Kaup－Newell方程的谱问题双非线性化［5，12－15］，得到了对称矩阵Kaup－Newell方程的一个有限维Hamilton系统，该有限维Hamilton系统具有Lax表示，让我们惊讶的是发现这个Lax算子所满足的形式不同于以往规范的r矩阵形式(1)，而是满足如下扩展的r矩阵形式

其中A，B是任意的矩阵，从而应用r矩阵方法［1］可以得到上述有限维Hamilton系统是对合的，进而可以得到该有限维Hamilton系统是Liouville完全可积的.

2 对称矩阵Kaup－Newell方程

考虑4阶的Kaup－Newell谱问题

其中λ是谱参数，I2是2×2单位矩阵，u，v是2×2对称矩阵位势函数

选取(4)的辅助谱问题

由(4)与(5)的相容条件即零曲率方程

给出矩阵Kaup－Newell方程

3 谱问题双非线性化与有限维Hamilton系统

首先给出一个引理［16］.

引理1设Φ=(φ1，φ2，…，φr)T，Ψ=(φ1，φ2，…，φr)T满足谱问题及伴随谱问题Φx=U(u，λ)Φ，Ψx=－UT(u，λ)Ψ，其中U(u，λ)是与u，ux，…和参数λ有关的r阶方阵.设M=ΦΨT=(φkφl)r×r，则

选取N个互不相同的谱参数λ1，λ2，…，λN，考虑矩阵Kaup－Newell谱问题(4)和它的伴随谱问题

其中

由引理1可得

考虑Bargmann约束

其中

选取初值

可得约束

其中〈·，·〉表示RN中的标准内积，A=diag(λ1，λ2，…，λN)，qs=(qs1，…，qsN)，

Ps=(ps1，…，psN)，s=1，2.

将(9)和(10)代入(8)，得有限维系统

设q1j，q2j，p1j，p2j(1≤j≤N)是辛空间(R4N，ω2)的正则变量，相应的辛结构为

定义Poisson括号

定理1在辛结构(12)下，约束流(11)是Hamilton系统

相应的Hamilton函数是

定理2有限维Hamilton系统(14)有如下Lax表示

其中

证明:记

其中

则

4 扩展的r矩阵与有限维Hamilton系统的可积性

引进记号:L1(λ)=L(λ)⊗I4，L2(μ)=I4⊗L(μ)，其中定义C=A⊗B为C4(i－1)+k，4(j－1)+l=AijBkl，且A=(Aij)，B=(Bkl).

在Poisson括号(13)下，通过直接计算可得到

定理3L(λ)满足如下r矩阵表示

其中

其中ekl为第k行l列的元素为1，其它位置元素全为0的4×4矩阵.

这样，由r矩阵理论［1］，可得

引理2如果矩阵L满足LT=－J－1LJ，则有(L2k+1)T=－J－1L2k+1J，k≥0，其中

由引理2可得trL2k+1(λ)=0，k≥0.

事实上，trL2k+1=tr(L2k+1)T=tr(－J－1L2k+1J)=－trL2k+1.

下面只需考虑trL2k.

定理4对于流变量x的Hamilton函数H与守恒积分是可交换的，即{H，trL2k}=0.

证明:因为trL2k(λ)(k=1，2，…)是守恒的，则有

因此，trL2k(λ)(k=1，2)是守恒积分的母函数，而且可被表示成

其中E(k)j是守恒积分，由定理4，得{H，E(k)j}=0，并且由定理3，可得{E(k)i，E(j)l}=0，所以守恒积分的对合性得证.

下面考虑守恒积分的函数建立性.

定理5Hamilton系统(14)的守恒积分E(k)j(k=1，2，j=1，2，…，N)在R4N的稠密开子集上是函数独立的.

证明:由于E(k)j的解析性，只需考虑R4N上的一点P0.设P0是

其中ε是很小的实数.由(16)可以给出守恒积分的低阶质

其中…表示其高阶项.

由方程(17)，在点P0可得

Jacobi行列式为

当ε足够小，并且ε≠0，J在P0点附近非零，因为所有的E(k)j都是实值函数，(E(1)1，…，E(1)N，E(2)1，…，E(2)N)关于实坐标的Jacobi矩阵是满秩的，

综上所述，可得如下结论

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An Extended r－Matrix Formula and its Applications

XU Ying，WANG Su－xia
(School of Finance，Huainan Normal University，Huainan，232038，China)

The approach of nonlinearization of spectral problem is extended and applied to the symmetric matrix Kaup－Newell equation.An extended r－matrix formula is presented.The complete integrability in the Liouville sense of the finite dimensional Hamiltonian system which results from the symmetric matrix Kaup－Newell equation is established in the framework of r－matrix.

the symmetric matrix Kaup－Newell equation;nonlinearization of spectral problem;r－matrix;integrable Hamiltonian system

O175.29

A

1672－2590(2015)06－0024－06

2015－09－25

淮南师范学院自然科学基金资助项目(2013XJ68)

徐英(1980－)，女，山东沂南人，淮南师范学院金融学院教师.