用改进型空间编码SPIDER系统测量复杂脉冲的准确性分析*

马志莲，谢志鹏，文锦辉，胡 婷

(中山大学光电材料与技术国家重点实验室，广东广州510275)

目前飞秒激光技术已成为很多研究和应用领域的重要工具［1－2］。飞秒脉冲整形技术的持续发展，使得人们能够很方便地获得各种结构的超短脉冲，应用于相干控制化学反应、光通讯等领域［3－4］。由于脉冲整形技术可以独立地调控飞秒脉冲各个光谱成分的振幅和相位，因而容易产生相位和光谱分布存在急剧变化的复杂脉冲。另外一些非线性光学过程也可能导致复杂的超短脉冲结构，如利用光子晶体光纤 (PCF)产生超连续谱脉冲、飞秒脉冲在空心PCF中的传播等等［5－6］。准确测量复杂脉冲的结构，将有助于分析这些过程里的物理机理。

光谱相干直接电场重构法 (SPIDER)是目前主要的超短脉冲测量技术之一［7－10］，具有测量速度快等优点。但现有SPIDER系统因结构上的问题限制了它们在测量复杂脉冲方面的应用;而我们最近提出的改进型空间编码 SPDIER系统 (简称MSEA-SPIDER)已证实可准确测量多种结构的复杂脉冲。

为了更深入地分析MSEA-SPIDER系统的适应性，本文借助数值模拟的方法，以两个不同结构的复杂脉冲为对象，分析准单色辅助脉冲的带宽和频谱位置等因素对该系统测量复杂脉冲准确度的影响，进而探讨减小测量误差和维持准确度的方案。

1 理论分析

根据SPIDER方法的工作原理［7］，待测的超短脉冲需要与两个准单色辅助脉冲片段发生和频作用，从而得到两个光谱剪切的和频脉冲，然后利用这两个和频脉冲的干涉谱图来重构出待测脉冲的相位结构。它要求两个准单色辅助脉冲片段的相位可以看作是常数，则它们与待测脉冲发生和频时所生成的两个和频脉冲的相位结构就会跟原有待测脉冲完全一致。由此通过两个和频脉冲的干涉谱来重构出和频脉冲的相位曲线，就等效于求出了待测脉冲的相位结构。但若两个准单色片段本身具有一定的带宽，因而存在一定的相位结构而不能看作一个常数，则会在和频作用时附加到和频脉冲的相位结构之上，这样和频脉冲与待测脉冲的相位之间将发生一定程度的偏离，最终导致测量误差。因此，为确保测量准确性，SPIDER方法通常对参与和频的两个辅助脉冲片段的带宽设置有以下的要求［8］:若待测脉冲的光谱带宽为Δω，则准单色片段的带宽δω应该满足单色性条件δω/Δω≤1%。

目前各种SPIDER装置一般都用分束片将待测脉冲分成两束:第一束用于生成1－2个待测脉冲的复制品，第二束要经过特殊处理而形成1－2个辅助脉冲。而且现有SPIDER系统多采用色散展宽器 (如长玻璃块或光栅对)将第二束脉冲光强烈展宽而形成强啁啾辅助脉冲，并使之与待测复制脉冲聚焦于非线性光学晶体的同一位置。在此情形下，参与和频作用的两个辅助脉冲片段的带宽δω以及它们的中心频率差Ω(称为光谱剪切量)就难免会跟待测脉冲的啁啾量和脉宽有关联。如果待测脉冲具有比较复杂的光谱和相位结构，则通常难以估计它的脉宽和啁啾量，这样SPIDER方法所要求的单色性条件就难以得到保证，而且会因待测脉冲本身啁啾的影响而使剪切量Ω偏离预先校正的数值，最终导致明显的测量误差详见文献 ［11－12］中的分析。

我们最近提出的MSEA-SPIDER系统采用“4f零色散脉冲压缩器+双缝光阑”的方式来产生圆频率分别为ω1和ω2的两个准单色辅助脉冲［12－13］，使之与待测脉冲发生和频作用，由此生成的两个和频脉冲一高一低地聚焦入射到光栅光谱仪之中(见图1)，形成的2维干涉谱图由面阵CCD相机拍摄下来，进而通过特定的重构算法求出待测脉冲的相位曲线。由于两个准单色脉冲的带宽δω和剪切量Ω=ω2－ω1分别由挡板上双狭缝的宽度和间距所决定 (在光栅和凹面镜已选定的情况下)，与待测脉冲的脉宽和啁啾情况无关，因而能够避免Ω和δω随待测脉冲的特性变化而改变，而且只需平移双缝挡板即可改变剪切量Ω，即能够很方便地实现同一个脉冲的多剪切量测量，从而可消除多种系统误差［10］，因而具备准确测量各种特性复杂脉冲的必要条件。实际上，只要根据待测脉冲的带宽Δω换上合适缝宽的双缝挡板，脉冲测量的准确性就基本上得到保证。

图1 MSEA-SPIDER装置的示意图Fig.1 Sketch of MSEA-SPIDER system(b)图是产生两个准单色辅助脉冲的4f结构

如上所述，SPIDER方法对参与和频的两个辅助脉冲片段具有一定的准单色带宽限制，但在实际使用中还需根据待测脉冲的能量来设定这个系统参数。在我们的MSEA-SPIDER系统中若选择过于窄小的双缝宽度，虽可得到很小的δω值来确保单色性条件的满足，但也意味着两个准单色脉冲的能量很低，它们与复制脉冲发生和频作用的效率就会很低，从而导致很低的和频干涉谱的信噪比，会引起脉冲重构准确度的明显下降。因此实际条件下δω应有最优化的折衷值。另外，对于相位曲线中存在跳变的复杂脉冲，如果由双缝选取的准单色辅助脉冲的频率至少有一个刚好落在相位跳变的位置上，也可能给和频脉冲引入附加相位而引起误差。为此，本文将借助数值模拟的手段，讨论上述情况对复杂脉冲测量准确度的影响。

实际上，待测脉冲的时域和频域表示式分别为

其中I(t)，ω0和φ(t)分别是脉冲的强度包络、中心圆频率和时域相位;而S(ω)和φ(ω)分别是脉冲的光谱分布和光谱相位。与是互为傅里叶变换的关系，实验中只要测出两者之一，另一个就能直接推导出来。此外，若脉冲的光谱相位曲线连续可微分，则可用泰勒展开式来表示:

其中常数项φ0和一阶导数φ1对脉冲的形状结构影响不大，一般可设为0;而φ2，φ3，φ4和φ5分别称为2－5阶色散。

为简单起见，假定我们系统中的4f结构处于理想状态，在生成两个准单色辅助脉冲时不会引入额外的色散，即由双缝选取出来的准单色成分能够保持原有待测脉冲的光谱片段内所对应的相位结构。这样就可利用公式 (1)和 (2)算出两个准单色脉冲的时域表示式～Em1(t)Z和～Em2(t)，则准单色辅助脉冲与待测脉冲和频而生成的两个和频脉冲的时域表示式分别为

本文采用文献 ［14］中定义的均方根光场误差ε来表征SPIDER方法重构脉冲的准确度。若只讨论重构相位引起的误差，ε可表示为

其中ε的取值在0～2之间，ε＜0.02，0.02＜ε＜0.1和 ε＞0.1分别表示脉冲重构的准确性较高、一般和较差。

2 数值模拟结果分析

考察在系统参数Ω和δω选取不同数值以及不同频率位置的条件下MSEA-SPIDER系统对两种结构的复杂脉冲的重构准确度。假设两个待测脉冲的光谱强度分布S(ω)基本相同，皆为双高斯峰分布、中心波长皆为800 nm(对应于中心圆频率ω0=2π×375 THz)、带宽皆为42.7 nm(对应于频带宽度为Δω=2π×20 THz)，但具有不同的相位结构φ(ω)。如图2所示，脉冲A含有多种高阶色散，其 中 φ2=600 fs2，φ3=35000 fs3，φ4=500000 fs4，φ5=－4000000 fs5;脉冲B的相位结构更为复杂，除了含有多种色散φ2=400 fs2，φ3=10000 fs3、φ4=50000 fs4，φ5=－100000 fs5之外，还有一个幅度为0.9π的近似方波状的跳变。由于光谱干涉效应，该脉冲的光谱强度分布曲线会在相位跳变位置上出现强烈的变化，如图2(b)。为了保持较高的数值模拟精度，两个待测脉冲的光谱强度和相位曲线都用2048个数据点表示，频率采样间隔为0.04 THz;而脉冲的时域分布曲线用6000～10000个数据点表示，时间采样间隔为0.25 fs。

假设通过切换4f结构中的双缝挡板和调节光栅转角，使得准单色辅助脉冲1的中心圆频率设定为ω1=2π×370 THz，并且在平移双缝挡板时保持不变;而准单色辅助脉冲2的圆频率通过平移双缝挡板，依次选为ω2=2π×374，2π×378，2π×382和2π×386 THz，分别对应图2中的a，b，c，d四个位置。则剪切量Ω=ω2－ω1依次取值为2π×4，2π×8，2π ×12和2π ×16 THz，由此实现对同一复杂脉冲的多剪切量测量。对应于每个Ω，可选择不同缝宽的狭缝来设置准单色带宽δω，在这里双狭缝的宽度始终保持一致。由于双缝的特点自动形成了约束条件δω≤Ω，因此带宽δω分别取值2π×0.2，2π ×1，2π ×2和2π ×4 THz，意味着单色性条件δωΔω分别为1%，5%，10%和20%。这里特别要注意Ω=2π×8 THz时第2个准单色辅助脉冲的频率刚好落在脉冲B相位跳变的边缘。

图2 两个待测脉冲A和B的光谱强度分布和相位曲线，以及准单色辅助脉冲的频率位置(图中准单色带宽以δω =2π×1 THz为范例)Fig.2 The spectra and spectral phases of the complex test pulses A and B，as well as the spectral positions of the quasi-monochromic auxiliary pulses

图3给出了待测脉冲Α在剪切量Ω=2π×8 THz以及带宽 δω 分别取值2π ×0.2，2π ×1，2π ×2和2π×4 THz条件下，对应的两个和频脉冲的相位曲线与真实曲线的差异。可以看出，δω=2π×0.2 THz时由于单色性条件δωΔω≤1% 得到满足，因而两个和频脉冲的相位曲线与实际曲线基本吻合;而随着δω不断增大，和频脉冲的相位偏离实际曲线的程度将越来越大，说明辅助脉冲的相位信息附加到和频脉冲之上而引起了相位失真，从而导致明显的测量误差。

图3 在Ω =2π×8 THz以及不同的准单色带宽δω的条件下，待测脉冲A对应的两个和频脉冲的相位曲线及与实际曲线的偏差Fig.3 The calculated phase curves and phase errors for the corresponding upconverted pulses of the test pulse A with varied quasi-monochromic bandwidths at Ω =2π ×8 THz

图4为待测脉冲Β在Ω=2π×8 THz以及带宽δω 分别取值 2π ×0.2，2π ×1，2π ×2 和 2π ×4 THz条件下的数值模拟结果。可以看出脉冲重构准确度的规律性与待测脉冲Α基本相似，即随着δω增大两个和频脉冲的相位偏差的程度将越来越大。特别之处是在方波跳变附近出现了明显的变化，即随着δω不断增大，相位曲线中方波跳变的陡峭度不断下降，这是由和频作用时的频率混合现象所引起的。而且从图4(b)可知，由于Ω =2π×8 THz时第2个辅助脉冲的频率刚好处于方波跳变的边缘，因而随着δω的增大，辅助脉冲的相位结构也将含有该相位跳变信息，从而会附加到和频脉冲2的相位结构上从而导致更大的相位失真，而且在方波跳变范围内的失真尤为明显。

图4 在Ω=2π×8 THz以及不同准单色带宽δω条件下，待测脉冲B所对应的两个和频脉冲的相位曲线及与实际曲线的偏差Fig.4 The calculated phase curves and phase errors for the corresponding upconverted pulses of the test pulse B with different quasi-monochromic bandwidths at Ω =2π ×8 THz

我们仿照SPIDER标准的重构算法，分别计算出待测脉冲Α和Β在不同Ω和δω条件下的两个和频脉冲的剪切相位差曲线dφ(ω)，接着将相应的各个相位差串接起来得到待测脉冲的相位曲线φc(ω)，再算出与待测脉冲实际相位的偏差曲线δφ(ω)。进而代入公式 (6)计算均方根光场误差ε来表征SPIDER相位测量的准确度。

表1给出了不同剪切量Ω和带宽δω条件下重构两个复杂脉冲的均方根光场误差ε的数值。可以看出，随着δω增大脉冲重构的准确度不断下降;而相同δω条件下Ω越大则基本上重构误差会有所减小。其主要原因是相位差串接的间隔增大而串接次数成比例地降低，因而误差的积累相应地减小了。特殊之处是复杂脉冲Β在Ω =2π×8 THz时的误差明显加大，其中的原因前面已经分析过了。

为了更好地展示脉冲重构准确性的影响，我们给出几种参数条件下重构出来的两个复杂脉冲的频域和时域的强度和相位结构。脉冲A在Ω=2π×8 THz以及带宽δω分别取值2π×2和2π×4 THz的条件下的结果如图5所示。可以看出该脉冲的频域相位、时域的包络和相位结构都不算太复杂，虽然脉冲重构的准确度随着辅助脉冲的带宽δω增大而降低，但在δω比较宽的条件下 (如δω =2π×4 THz)的重构结果与实际曲线的差别并不算很大。这意味着对该待测脉冲来说，重构脉冲相位时对辅助脉冲单色性的要求比较宽松。

表1 不同剪切量Ω和带宽δω条件下重构两个复杂脉冲相位的均方根光场误差εΤable 1 RMS field errors ε for phase retrieval of the two complex pulses in different cases of spectral shear Ω and bandwidth δω 。

图5 脉冲A在Ω=2π×8 THz及δω不同取值条件下的模拟结果Fig.5 The simulated results of test pulse A at Ω =2π ×8 THz under different bandwidth δω(a)频域;(b)时域

图6显示了脉冲Β分别在Ω =2π×4和2π×8 THz以及δω分别取值2π×2和2π×4 THz条件下的模拟结果。可以看出，总体上的规律性与待测脉冲Α的情况相似，即随着δω增大重构误差会越来越大。而由于待测脉冲Β的频域和时域结构都比较复杂 (图中真实曲线用灰色粗实线表示)，δω较大时重构结果与实际曲线呈现很明显的差别。例如图6(a)和 (b)所对应的Ω=2π×4THz条件下，随着δω的增大，重构的相位曲线偏离真实曲线的幅度不断增大且方波跳变的陡峭度不断下降，但时域上的强度包络和相位的偏差仍都不算太大。Ω=2π×8 THz的情况就比较糟糕 (如图6(c)和 (d))，由于第2个辅助脉冲的频率刚好处于方波跳变的边缘，δω较大时必然受到辅助脉冲附加相位的影响，使得重构出来的频域相位曲线出现较大偏差，从而导致时域包络和相位都严重地偏离真实的曲线。因此对该待测脉冲来说，脉冲重构过程中对辅助脉冲单色性的要求就比较高，不仅在信噪比容许的范围内δω要尽量地小，而且要避免辅助脉冲的频率刚好选在待测脉冲相位瞬变的位置上，才能保证该复杂脉冲的测量具有较高的准确度。对于这种情况，实际上可以选择多个剪切量来测量同一脉冲，若发现个别剪切量下的重构结果跟其它情形相比差异很大，就将它们剔除，由此应该可以排除可能出现较大误差的情况。

图6 脉冲B分别在Ω =2π×4和2π×8 THz以及不同δω条件下的模拟结果Fig.6 The simulated results of test pulse B at Ω =2π ×4 and 2π ×8 THz under different bandwidth δω

4 结语

由于改进了产生辅助脉冲的方式，我们提出的MSEA-SPIDER系统在测量结构复杂的超短脉冲方面更具优势。本文借助数值模拟的手段，分析了准单色辅助脉冲的带宽和频谱位置等因素对该系统测量复杂脉冲的准确度的影响。选择两种不同结构的复杂脉冲作为研究对象，发现随着准单色带宽δω的增大，辅助脉冲的相位信息将附加到和频脉冲之中而引起相位失真，从而导致明显的测量误差。另外不同结构的复杂脉冲对准单色性的要求有很大差别。对虽然含有多种高阶色散，但其光谱分布和光谱相位曲线都较为平滑的复杂脉冲，对单色性条件的宽容度大，即便δω/Δω=10% 以上也不会出现较大的重构误差。而对于光谱和相位曲线中存在陡变结构的复杂脉冲，其对辅助脉冲单色性的要求就比较高，不仅要求δω尽量小，而且要避免辅助脉冲的频率刚好选在待测脉冲相位陡变的位置上，否则容易出现明显的测量误差。选择多个剪切量测量同一脉冲，将有利于提高测量的准确性，避免明显误差的出现。相关的实验研究工作正在开展中。

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