两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力分析和计算

康玉宽 李众立

(西南科技大学制造科学与工程学院 四川绵阳 621000)



两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力分析和计算

康玉宽 李众立

(西南科技大学制造科学与工程学院 四川绵阳 621000)

通过建立数学模型，运用电磁场理论、数值计算方法、微积分知识推导出两通电圆柱形螺线管间互感，进一步运用虚功原理推导出两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力的表达式，着重分析和研究了两同轴通电等大的圆柱形螺线管间电磁作用力的计算方法和思想。利用Matlab数学软件对实际的等大的两个同轴圆柱形螺线管电磁感线分布情况进行了模拟，进一步验证计算结果的正确性，并模拟了部分电磁作用力和变量的关系图像。

电磁作用力 互感 虚功原理 关系图像 电磁举升系统

随着新能源概念的提出，电能的有效利用在各个领域都有了新的发展，作为电能应用的载体之一的电磁能应用尤为突出，自上海磁悬浮列车通车运行成功以来，人们对电磁能的研究再次达到新的高峰。分析研究两同轴通电螺线管间电磁作用力计算方法，在实际问题和技术应用中有着重要的理论和工程价值。

在工程自卸车的举升系统中，由于液压举升系统技术成熟、实用性较强，所以应用较为普遍，但是随着石油能源不断枯竭，加之液压举升系统的不稳定性，在未来的一段时间内，电磁举升系统将逐渐取代液压举升系统在工程自卸车举升系统中的地位。因此，对两同轴通电螺线管间电磁作用力的研究就尤为重要。虽然实际应用中有一些经验计算或者近似估计也能满足一般工程要求，但是这些由经验得来的估算结果在很大程度上不能有效控制计算的精确度，而且不能满足特殊的工程要求。

1 模型建立

1.1 通电圆柱形螺线管的自感

我们可以将通电圆柱形螺线管看成由许多同轴通电圆环组成，通过分析两平行通电圆环互感来推导通电圆柱形螺线管的自感。首先由纽曼公式推导两平行通电圆环互感，再根据微积分原理取圆柱形螺线管的微分单元，求解两微分单元间的互感。最后在整个圆柱形螺线管上求积分，就可以准确求得圆柱形螺线管的自感。

(1)

(2)

图1 圆柱形螺线管Fig.1 Cylindrical solenoid

1.2 两通电圆柱形螺线管的互感

分别在两通电圆柱形螺线管上微分单元dZ1和dZ2,同求单个通电圆柱形螺线管的自感的微积分方法，再利用数值计算方法化简，进而求解两通电圆柱形螺线管的互感。设两圆柱形螺线管尾端和前端间距为b，半径分别为R1，R2,在微分单元dZ1和dZ2上分别均匀地绕有线圈m，n匝，磁导率为μ。基本尺寸如图2所示。则两通电圆柱形螺线管的互感为[3]：

(3)

图2 圆柱形螺线管Fig.2 Cylindrical solenoid

1.3 两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力计算

两通电圆柱形螺线管间电磁作用力满足牛顿第三定律，该电磁作用力仅有沿轴方向上的分量。

由电磁场理论可知，该系统的场能为[4-6]：

W=I1I2M

(4)

I1，I2分别是两通电圆柱形螺线管的电流，M是两通电圆柱形螺线管的互感。载流体系在外磁场中的受力计算沿轴方向上的分量应用虚功原理则有

(5)

(6)

至此，讨论两同轴通电等大的圆柱形螺线管间电磁作用力，即R1=R2=R。

其中：

{h1∈(0,b),h2∈(b,c),h3∈(b,a+b),

h4∈(0,b),i=1,2,3,4}

(7)

完全椭圆积分[7-8]的导数分别为：

(8)

(9)

则：

(10)

(11)

(12)

(8)式和(9)式代入(12)式化简得：

(13)

将(7)代入(13)化简得[9-10]：

(14)

分析表达式(14)可以知道两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力是由4部分组成，而且这4部分的解析表达式格式相同，每一部分对应一个h,而且h的取值范围在表达式(7)中列出。在这里，当F为正值时，表示斥力；当F为负值时，表示吸引力。推导得到的结果是一个级数解，具体应用中只能取级数的若干项进行近似计算，因此，从这个角度来说，表达式得出的是近似解。

2 计算结果的数值分析和图形模拟

2.1 计算结果的正确性验证

应用Matlab软件模拟实际的等大的两个同轴圆柱形螺线管电磁感线分布情况，进一步验证计算结果的正确性，如图3-图6所示。

图3 螺线管中间截面的磁感线分布图Fig.3 Distribution diagram of magnetic induction lines on solenoid’s middle section

图4 螺线管中间截面的磁感线趋势图Fig.4 Tendency diagram of magnetic induction lines on solenoid’s middle section

图5 螺线管上下两个面和中间面的截面图Fig.5 The sectional views of solenoid’s top and bottom sides and middle part

图6 螺线管中间截面的磁感线立体图Fig.6 Space diagram of magnetic induction lines of solenoid’s middle section

利用Matlab软件计算两个螺线管的磁感线分布，结合表达式(14)进行如下分析。图3为不考虑两个螺线管电磁相互作用力后螺线管中间截面的磁感线分布图，图4为考虑两个螺线管电磁相互作用力后螺线管中间截面的磁感线趋势图，图中方框代表螺线管的位置。通过图3、图4的对比可以知道，考虑两个螺线管电磁相互作用力后，图4中磁感线的弯曲程度大于图3中磁感线的弯曲程度。说明磁感线的排斥力加大，两个螺线管之间中心区域磁感应强度变小，图5给出两螺线管上下两个面和中间面的截面图，这个图从立体的角度说明了两个螺线管磁感线互斥，且中间磁感应强度变小。图6是图4的立体图，当两个管的磁感线相互接近时由于排斥力的作用会使磁感线的方向改变，再次验证了两个相对螺线管中心磁感应强度变小。综上分析计算结果符合实际情况。

2.2 表达式的近似解和变量h的关系验证

利用C程序设计、Matlab数学软件[11]计算并模拟变量作出图像。两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力由解析表达式(14)可以看出，作用力F与该两同轴通电圆柱形螺线管间距离h有关，在其他条件不变的情况下，作用力F随着h的变化而变化。

图7 两圆柱形螺线管间电磁力和距离的仿真图Fig.7 The simulation diagram of the electromagnetic force and distance between two cylindrical solenoids

由于两同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力的4部分的解析表达式格式相同，可知两同轴通电等大的圆柱形螺线管间电磁作用力的其他三部分在距离h不同取值情况下，电磁作用力F和距离h的关系利用Matlab数学软件模拟的图形和图7所示相似,在此不作具体Matlab软件模拟。

3 结论

文章有效利用前人在螺线管间互感以及通电平行环的电磁力计算方面已取得的研究成果,基于磁场的叠加原理,分析研究螺线管的空间磁场分布，理论推导出同轴通电圆柱形螺线管间电磁作用力解析表达式。利用Matlab软件模拟实际的等大的两个同轴圆柱形螺线管电磁感线分布情况，进一步验证了计算结果符合实际情况。

[1] 於乾英,富知愚.圆柱型螺线管磁体的最佳形状[J].上海大学学报:自然科学版,2002,8(1)：76-79.

[2] 张永吉.两个共轴螺线管间互感的计算[J].大学物理,2000,5(5)：15-20.

[3] 洪正平.共轴密绕串联螺线管之间的互感系数[J].山东师范大学学报:自然科学版,2005,20(2)：101-102.

[4] 刘成林.大学物理[M].南京：南京大学出版社,2014.150-240.

[5] 赵凯华, 陈熙谋.电磁学，第2版[M].北京:高等教育出版社, 2006.494-502.

[6] 侯昭武.通电螺线管产生的电磁场[J].广西教育学院学报,2008,(5)：154-156.

[7] 田硕,田睿.完全椭圆积分在物理学中的应用[J].中国西部科技,2009,8(7)：90-92.

[8] ZHOU Li-ming，QIU Song-liang,WANG Fei. Estimates for Complete Elliptic Integral by Trigonometric Functions with Applications[N]. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2012，29(5):722-726.

[9] 朱思华, 杨万民.两共轴平行圆环电流之间的电磁作用力[J].大学物理,2005,24(10)：24-26.

[10] 康兆敏，方秀男.数值计算方法,第二版[M].清华大学出版社,2013.

[11] (美)穆尔.MATLAB实用教程,第二版[M].高会生，刘童娜，李聪聪译. 电子工业出版社,2010.

Analysis and Calculation of Electromagnetic Force between Two Coaxial Electric Cylindrical Solenoids

KANG Yu-kuan, LI Zhong-li

(SchoolofManufacturingScienceandEngineering,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan,China)

By establishing a mathematical model and using the electromagnetic field theory, the numerical computation method and calculus technique, etc., the mutual inductance between the two solenoids was obtained. Furthermore, the formula of expressing the above-said electromagnetic force was achieved by adopting the virtual work principle, with the computing method and ideology mainly analyzed and researched. By using the Matlab mathematical software, the distribution of the two coaxial electric cylindrical solenoids’ electromagnetic lines was simulated and the computed result was further verified. The image of relation between the electromagnetic force and their corresponding variables was also simulated.

Electromagnetic force; Mutual inductance; Virtual work principle; Image of relationship; Electromagnetic lifting system

2014-08-11

康玉宽，男，硕士研究生。E-mail:1173020132@qq.com

O369

A

1671-8755(2015)01-0085-05