用方程的观点看一次函数

关永健

摘 要：本文从几方面简述如何用二元一次方程组来理解一次函数的问题，从而有机地把一次函数和二元一次方程（组）结合起来使用，解决一些相关的实际问题。

关键词：二元一次方程 一次函数 图象 方程组解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-187-02

如果我们在教学过程中，注意引导学生用二元一次方程的知识和观点来看待一次函数，往往会收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函数图象

一个二元一次方程 （m、n都是常数，且m、n都不为0）是一个不定方程，有无数组解。如果把x看作横坐标、y看作纵坐标，那么每一组解就是一个点的坐标。以二元一次方程组 的解为坐标的所有的点集中在一起，就构成了直线 。也就是说，直线 的点与二元一次方程 的解是一一对应的。这样理解后，下面的问题就容易理解了。

求直线 与坐标轴的交点。这问题相当于知道x（或y）的值为0，求y（或x）的值。

例：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求A、B的坐标。

解：当y=0时，代入直线解析式方程 ，得 ，解得 所以A点的坐标是 。

当x=0时，代入直线解析式方程 ，得 ；所以B点的坐标是 。

二、利用二元一次方程组来判断对应的两个一次函数图象的位置

设二元一次方程组的一般形式为 ，可转化为 ，令 ，则上述形式又可以写成 。这就对应着两个一次函数。

（1）当 时，二元一次方程组 有唯一解，此时直线 和直线 相交。

（2）当 时，方程组 无解，此时直线 和直线 平行，没有公共点。

（3）当 时，方程组 有无数组解，此时直线 和直线 重合，有无数个公共点。

三、二元一次方程组解决一次函数问题

在学习过程中，不少一次函数的问题可以转化成二元一次方程组的问题来解决，下面这种题型就是很好的例子。

如何求两个一次函数图象交点坐标。这个交点，同时在这两个函数图象上，所以同时满足这两个函数解析式方程。我们可以通过解这两个解析式组成的方程组来解决问题。

例：求两个一次函数 和 图象的交点坐标。

解：由题意可得： ；解方程组得： ；所以交点坐标是（1，1）。

四、二元一次方程与一次函数的综合应用

实际问题一直是个难点，应根据具体情况把一次函数和二元一次方程组有机地结合，灵活运用，从而顺利解决问题。

例：中国移动公司开设两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，每通话1分钟再付0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元。现在小明想开通其中一种通讯业务，请问他应该开通哪一种更省钱？

分析：每月付话费的多少与小明每月通话时间有关，我们可设小明每月通话x分钟，付的话费为y元，分别建立起两种通讯业务方案的函数模型，然后再进行比较。

解：设小明每月通话x分钟，付的话费为y元。

全球通每月付款为y=0.4x+50；神州行通每月付款为y=0.6x

在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象

解方程组 ；解之得： ；所以两图象交于点（250，150）

由图象易知：

当 时， ，此时选择神州行更省钱；

当 时， ，此时两种方案没有区别；

当 时， ，此时选择全球通更省钱。

总之，在一次函数教学过程中，教师要引导学生把一次函数和二元一次方程有机联系起来，给予学生充分的时间和空间来体验数学知识的学习过程，适当的练习来熟练应用各知识点。这样，相信学生学好一次函数不成问题。

参考文献：

[1] 李亚军.关于初中一次函数教学的几点思考[J].湖南教育（数学教师）

[2] 高正峰.直角坐标系与一次函数的内容分析与教学探究[J].学周刊