考虑冰劈效应的裂缝应力强度因子分析

杨 林 李贵祥

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)

考虑冰劈效应的裂缝应力强度因子分析

杨 林 李贵祥

(东北林业大学土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)

根据热弹性理论将冰劈效应转化为冰劈荷载，并基于扩展有限元方法(XFEM)，采用ABAQUS有限元分析软件建立半无限板模型，求解裂缝在冰劈效应下的应力强度因子，同时通过公式计算其应力强度因子的理论解，将两者进行了对比分析，采用不同的积分区域因子rk，通过J积分算法求解不同深度裂缝应力强度因子，得到rk取值范围，通过调整网格加密系数，研究了裂缝区域网格加密对于应力强度因子的影响。

冰劈效应，扩展有限元，加密系数，应力强度因子

0 引言

在各工程领域中，构件断裂是导致各种灾难性事故的重要原因，而构件断裂主要是由于其内部裂缝在外界因素影响下扩展造成的。进入21世纪，计算机技术的迅猛发展以及大型有限元软件的开发，为裂缝的研究提供了有效途径。但目前对于裂缝的研究具有一定局限性，传统有限元研究中一般预先给定平直的扩展路径，裂缝只能沿单元边界扩展，与实际裂缝扩展有较大差距。为改善传统有限元在裂缝模拟中的局限性，由Belytschko和Black提出了一种新方法，经Moёs和Daux等人完善后正式命名为扩展有限元法[1，2](extended finite element method，XFEM)。该方法比较明显的优势是允许裂纹在单元内部扩展，从而实现不规则裂缝的模拟[3]。目前对于裂缝扩展的研究一般集中在荷载和温度等作用条件上，对于冰劈作用对裂缝扩展的影响研究相对较少。但冰劈效应在实际工程中比较常见，尤其是北方道路路面裂缝积水结冰对路面结构造成严重损坏[4]。本文基于扩展有限元法，采用J积分对冰劈效应下裂缝的应力强度因子进行计算和分析。

1 扩展有限元法

扩展有限元法是以单位分解法为基础，通过在常规有限元位移模式中加入加强函数，来解决不连续问题的一种方法。

1.1 单位分解法

单位分解法(Partition of Unity Method，PUM)是Melenk和Bubska等人于1996年前后提出的一种通过分片来逼近局部的函数[5]。其基本原理是任意函数ψ(x)在求解域Ω中都能用下列形式表示：

(1)

(2)

扩展有限元对式(2)进行扩充来更准确描述复杂未知场，扩充后的未知场uh典型形式为:

(3)

其中，qJ为待定系数，用于调整函数Φ(x)的幅值。

1.2 控制方程

等同于传统有限元，扩展有限元控制方程根据虚功原理进行推导[6]，假设结构产生的虚位移δuh，则其虚功方程用下式表示：

(4)

其中,Fb为体力;Fs为面力;F为集中力;D为弹性矩阵;ε(u)为应变。

将常规有限元逼近位移函数代入式(4)得到扩展有限元控制方程：

Kδ=R

(5)

其中，K为单元矩阵集合而成的整体劲度矩阵；R为由单元荷载阵列组成的整体阵列；δ为结点未知向量。

1.3 应力强度因子计算

裂缝尖端会发生应力奇异，给数学计算带来困难，为此引入了描述场强的物理参数应力强度因子(SIF，K)，它的计算依赖于裂缝尖端的局部应力场，是断裂力学中的重要参数。目前对于Ⅰ型裂缝的应力强度因子KⅠ的计算有直接积分法、J积分和虚拟裂纹闭合法(VCCT)等方法[7]。本文采用精度较高的J积分法进行应力强度因子计算[8,9]。

在ABAQUS中加入用户程序插件，将以裂缝尖端为圆心半径为R的区域作为积分区域。

(6)

其中，rk为积分区域因子；h为裂缝尖端所在单元的面积。

通过积分区域因子对积分面积进行控制，将采用不同rk值计算的KⅠ值与理论值进行对比，得到合适的rk值，其示意图见图1。

2 裂缝模型的建立与分析

本文主要研究冰劈效应对裂缝的影响，冰劈效应可以转化为冰劈荷载，并将其视为垂直于裂缝表面的均布压力，其破坏形式属于Ⅰ型裂缝。

2.1 冰劈荷载计算

根据热弹性理论，由冰胀力引起的主应变为：

(7)

其中，εi(i=1,2,3)为3个方向的主应变；Eice为冰的弹性模量；vice为冰的泊松比；p(T)为冰劈荷载。

由文献[10]可知p(T)引起冰的体积应变为:

(8)

由物理学知识可知冰的体积膨胀系数为：

β(T)=0.000 3e0.044T

(9)

由体积膨胀系数定义可知εv(T)=β(T)，代入式(8)和式(9)可求得冰劈荷载：

(10)

将T=10 ℃，Eice=2 300 MPa，vice=0.35代入式(10)得p(T)=1.190 4 MPa。

2.2 建立有限元模型

采用ABAQUS有限元软件建立尺寸为4 m×8 m的半无限板模型，板的物理常量为：E=30 MPa，v=0.33，裂缝内充满水时受力如图2所示。

为研究不同深度裂缝在劈裂效应下的应力强度因子，本文共建立2 cm，4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm和14 cm深度裂缝模型进行分析计算。如图3所示为6 cm深度裂缝模型计算结果。

2.3 积分区域因子对比分析

根据应力强度因子手册，半无限板边缘裂缝上下表面受到均布压力p，应力强度因子计算公式为：

(11)

其中,a为裂缝深度;a-b为荷载作用区域，如图4所示，F(b/a)取值查应力强度因子手册。

每种裂缝深度模型分别取rk=1.0～4.0计算应力强度因子。应力强度因子理论解通过式(11)代入相关数据进行计算。将两者进行对比分析，其中有效对比数据为rk=1.5，rk=2.0，rk=2.5，rk=3.0，与理论计算值对比结果如图5所示。

由图5可知应力强度因子随裂缝深度增加而增加，当rk=2.0和rk=2.5时模拟解与理论解吻合度较高，所以建议积分区域因子取2.0～2.5。

2.4 网格密度影响分析

常规有限元模拟裂缝时需要进行网格加密，合适的网格密度是保证准确模拟结果的重要条件。为研究扩展有限元中网格密度对裂缝模拟结果的影响，本文定义网格加密系数Krat，其含义为单位面积网格加密区域包含单元数量Ksc与未加密区域单元数量Kor比值，计算公式如下：

(12)

选取8 cm和10 cm深度的裂缝进行分析，模型为202×100的有限元网格，在此基础上对裂缝区域进行加密，取rk=2.5。

分别计算其应力强度因子值，并与理论值进行对比，结果如图6所示。由图6可知模拟数值解随加密系数的增加逐渐逼近理论解。

2.5 冰劈作用深度影响分析

选取8 cm和10 cm两种深度的裂缝，建立不同积水深度模型进行分析，通过冰劈荷载的作用范围对积水深度进行表征。

通过用户程序插件取rk=2.5计算应力强度因子值与理论计算值进行比较，如图7所示。

由图7可知，应力强度因子值随积水深度的增加而增大，积水深度对应力强度因子影响显著。积分区域因子rk=2.5时扩展有限元对于裂缝应力强度因子的计算具有较高精度。

3 结语

1)冰劈效应是工程领域研究的重点之一，尤其是季冻区造成工程构造物破坏的重要原因。本文通过将冰劈效应转换为冰劈荷载，基于扩展有限元的方法，对冰劈效应对裂缝的影响进行了研究。研究表明，扩展有限元对于冰劈荷载下应力强度因子的计算具有较高精度。2)利用ABAQUS用户程序插件，应用J积分的计算方法对不同深度裂缝应力强度因子进行计算，结果表明，对于半无限板边缘裂缝模拟，积分区域因子取rk=2.0～2.5计算精度较高。3)对不同加密系数的裂缝模型进行应力强度因子计算表明，加密系数Krat越大，求解精度越高。所以在应用扩展有限元求解裂缝应力强度因子时，对裂缝区域进行适当加密，可提高模拟精度。

[1] Belytschk T, Black T. Elastic crack growth in finite element with minimal remeshing[J].International journal for Numerical Methods in Enginerring,1999(45):601-620.

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[4] 赵岩荆,倪富健.冰劈效应对沥青路面表面裂缝的影响性分析[J].公路交通科技,2011(4):24-30.

[5] Melenk J M, Bubska I. The partition of the nuity finite element method:basic theory and applications[J].Computer methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,139(14):289-314.

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[7] 祝云琪,曾四平.RCC—AC复合式路面反射裂缝应力强度因子的有限元分析[J].公路工程,2008(4):51-53,74.

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[10] 李云鹏,王芝银.花岗岩低温强度参数与冰胀力的关系研究[J].岩石力学与工程学报,2010(S2):4113-4118.

Analysis on cracking stress-intensity factors by considering frost-splitting effect

Yang Lin Li Guixiang

(CollegeofCivilEngineering,NortheastUniversityofForestry,Harbin150040,China)

The paper converts frost-splitting effect into frost-splitting load according to thermal-magnetoelasticity, establishes semi-infinite model by applying ABAQUS finite element analysis software according to XFEM. The cracking stress-intensity factors are solved under frost-splitting effect. Simultaneously, it calculates theoretical stress-intensity factors with calculation, and makes a comparison. And then, it adopts different integral area factorrk, solves various-depth cracking stress-intensity factors by J integral computation method, obtainsrkvaluing scope. Through adjusting grid coefficients encryption, it studies the impact of grid coefficients encryption within cracking area upon stress-intensity factors.

frost-splitting effect, extended finite element method(XFEM), coefficients encryption, stress-intensity factors

2015-05-25

杨 林(1970- )，男，博士，副教授； 李贵祥(1990- )，男，在读硕士

1009-6825(2015)22-0142-03

U418.66

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