边形数、棱锥体数及其三角形的循序逐增规律

摘 要：该文遵循循序逐增原理，从对边形数、棱锥体数以及其点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增现象研究中，求得其循序逐增规律。应用拓扑原理，可将边形数置换为扇形图表达，将棱锥体数置换为圆形图表达，发现了棱锥体数与边形数之间的相近相同规律。

关键词：边形数 棱锥体数 三角形 循序逐增规律 拓扑原理

中图分类号：O123 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）02（c）-0041-06

关于边形数、棱锥体数，《数学史通论》（李建文等译，由高等教育出版社出版）的第二章和第五章都有记述。笔者依照循序逐增原理，对边形数、棱锥体数以及其点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增现象进行了研究，找到了它们各自的循序逐增规律。

1 边形数的循序逐增现象及其规律

边形数是指以点为记号，以起点为始点，循着图形的边形的有序扩延而形成的边形点数（如图1是三边形数图）。对于边形数，公元1世纪希腊数学家尼可马科斯曾作研究。笔者只是遵循循序逐增原理，从边形数的循序逐增现象来论证边形数循序逐增的规律性。

1.1 三边形数的循序逐增现象及其规律

图1是三边形数图。图2是三边形点数规律表。从图1、图2看出，三边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着自然数“2，3，4，5……”的规律有序逐增，其数列差为1。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现三边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3……”相吻合。据此，可求得三边形数的规律，其定理为：

三边形数=1+[1+（1*1）]+[1+（2*1）]+[1+（3*1）]+…+[1+（n*1）]

（式中n表示扩延次数）

1.2 四边形数的循序逐增现象及其规律

图3是四边形数图。图4是四边形点数规律表。从图3、图4看出，四边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着奇数“3，5，7……”的规律有序逐增，其数列差为2。

假如将每次扩延边形的点的第一个點设为1，那么，就会发现四边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的规律有序逐增，而被乘数 “1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3 ……”相吻合。据此，可求得四边形数的规律，其定理为：

四边形数=1+[1+（1*2）]+[1+（2*2）]+[1+（3*2）]+…+[1+（n*2）]

（式中n表示扩延次数）

1.3 五边形数的循序逐增现象及其规律

图5是五边形数图。图6是五边形点数规律表。从图5、图6看出，五边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着“4，7，10……”的规律有序逐增，其数列差为3。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现五边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3 ……”，正好与扩延次序“1、2、3……”相吻合。据此，可求得五边形数的规律，其定理为：

五边形数=1+[1+（1*3）]+[1+（2*3）]+[1+（3*3）]+…+ [1+（n*3）]

（式中n表示扩延次数）

1.4 六边形数的循序逐增现象及其规律

图7是六边形数图。图8是六边形点数规律表。从图7、图8看出，六边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着“5，9，13……”的规律有序逐增，其数列差为4。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现六边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3……”相吻合。据此，可求得六边形数的规律，其定理为：

六边形数=1+[1+（1*4）]+[1+（2*4）]+[1+（3*4）]+…+[1+（n*4）]

（式中n表示扩延次数）

求证边形数的循序逐增定理

从上证明可知：三边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的规律有序逐增，乘数“1”正是三边形的3-2之差；

四边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的规律有序逐增，乘数“2”正是四边形的4-2之差；

五边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的规律有序逐增，乘数“3”正是五边形的5-2之差；

六边形扩延边形的点数，是循着“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的规律有序逐增，乘数“4”，正是六边形的6-2之差。

依照归纳法，得出结论，式中乘数正是边形的边的量减去2之差。据此，将边形的边的量以“边”的汉语拼音第一个字母“B”来表示，那么，边形数的定理为：

边形数=1+[1+1*（B-2）]+[1+2*（B-2）]+[1+3*（B-2）]+…+[1+n*（B-2）]

（式中n表示扩延次数，B表示边形的边的量）

2 边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

事实表明，多边形图是由若干大三角形组成的整体。而大三角形又由若干小三角形组成。据此，笔者将边形数的点与点之间以直线相连形成为（小）三角形，从中发现三角形的量的循序逐增规律。

2.1 三边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图9是将图1（三边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形（简称为“点之间形成的三角形”）的图。图10是反映图9的三角形的量的统计表。从图9、图10看出，三边形数的“点之间形成的三角形”的量，随着有序扩延，是循着奇数“1、3、5、7……”的规律逐增，其数列差为2。笔者研究结果表明，奇数“1、3、5、7……”的循序逐增规律实际上是两个自然数循序相加之和，即：1=1+0，3=2+1，5=3+2，7=4+3，……根据此规律，笔者又将三边形的整体设定为1个大三角形的整体，那么，可求得三边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

三边形数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]

（式中n表示扩延次数）

2.2 四边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图11是将图3（四边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图12是反映图11的三角形的量的统计表。从图11看出，图11（即四边形）是由2个图9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图12看出，四边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的2倍，以此可求得四边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

四边形数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]

（式中n表示扩延次数）

2.3 五边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图13是将图5（五边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图14是反映图11的三角形的量的统计表。从图13看出，图13（即五边形）是由3个图9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图14看出，五边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的3倍，以此可求得五边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

五边形数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示扩延次数）

2.4 六边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图15是将图7（六边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图16是反映图15的三角形的量的统计表。从图15看出，图15（即六边形）是由4个图9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图16看出，六边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的4倍，以此可求得六邊形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

六边形数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示扩延次数）

求证边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理

从上证明中已知：

三边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]”，其式中的乘数“1”，正是三边形的3-2（即B-2）之差；

四边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]”，其式中的乘数“2”，正是四边形的4-2（即B-2）之差；

五边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]”， 其式中的乘数“3”，正是五边形的5-2（即B-2）之差；

六边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]”，其式中的乘数“4”，正是六边形的6-2（即B-2）之差。

依照归纳法，求得边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为：

边形数的“点之间形成的三角形”的量=“0+[（1+0）*（B-2）]+[（2+1）*（B-2）]+[（3+2）*（B-2）]+[（4+3）*（B-2）]+……+[（n+n-1）*4]”（式中B是表示边形的边的量，n表示扩延次数）

边形数可置换为扇形图来表达

从上证明中已知，三边形是由1个大三角形组成的整体，四边形是由2个大三角形组成的整体，五边形是由3个大三角形组成的整体，六边形是由4个大三角形组成的整体，余此类推。根据此规律，边形数完全可以图17来表达，应用拓扑原理，边形数又可置换为扇形图来表达，见图18。

3 棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

数学家尼可马科斯在研究边形数的基础上，进一步研究了棱锥体数。笔者对棱锥体数的研究，自然是从循序逐增原理的角度来研究的。笔者研究结果表明，当将棱锥体数以平面的图来表达时，实质是不同于前文边形数的另一种边形数，即以点为记号，其起点既是始点又是中心点，依照边形的要求有序向周边画点扩延而形成的边形点数（如图19是三棱锥体数图）。

3.1 三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图19是反映三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图20是三棱锥体点数统计表，图21是三棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图19、图20看出，图21随着三棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1*3，2*3， 3*3，4*3……”的规律逐增，此乘数的“3”，正是三棱锥体的“3”。据此，可求得三棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：

三棱锥体数=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+…… +（n*3）

（式中n表示扩延次数）

现求三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图19、图21看出，随着三棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“[（1+0）*3]，[（2+1）*3]，[（3+2）*3]，[（4+3）*3]+……”的规律逐增。式中乘数“3”，正是三棱锥体的“3”。与三边形相比，式中乘数多“2”（即3-1=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比三边形多“（n+n-1）*2”个。由此可求得三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

三棱錐体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示扩延次数）

3.2 四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图22是反映四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图23是四棱锥体点数统计表，图24是四棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图22、图23看出，随着四棱锥体的有序扩延，其增加的点数是循着“1*4，2*4，3*4，4*4……”的规律逐增，此乘数的“4”，正是四棱锥体的“4”。据此，可求得四棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：

四棱锥体数=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）（式中n表示扩延次数）现求四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图22、图24看出，随着四棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“[（1+0）*4]，[（2+1）*4]，[（3+2）*4]，[（4+3）*4]+……”的规律逐增。式中乘数“4”，正是四棱锥体的“4”。与四边形相比，式中乘数多“2”（即4-2=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比四边形多“（n+n-1）*2”个。由此可求得四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律，其定理为：

四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示扩延次数）

3.3 五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图25是反映五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图26是五棱锥体点数统计表，图27是五棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图25、图26看出，随着五棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1*5，2*5，3*5，4*5……”的规律逐增，此乘数的“5”，正是五棱锥体的“5”。据此，可求得五棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：

五棱锥体数=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）（式中n表示扩延次数）

现求五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图25、图27看出，随着五棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“[（1+0）*5]，[（2+1）*5]，[（3+2）*5]，[（4+3）*5]+……”的规律逐增。式中乘数“5”，正是五棱锥体的“5”。与五边形相比，式中乘数多“2”（即5-3=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比五边形多“（n+n-1）*2”个。由此可求得五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

（式中n表示扩延次数）

3.4 六棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图28是反映六棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图29是六棱锥体点数统计表，图30是六棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图28、图29看出，随着六棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1*6，2*6，3*6，4*6……”的规律逐增，此乘数的“6”，正是六棱锥体的“6”。据此，可求得六棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：六棱锥体数=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+ ……+（n*6）（式中n表示扩延次数）

现求六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图28、图30看出，随着六棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“[（1+0）*6]，[（2+1）*6]，[（3+2）*6]，[（4+3）*6]+……”

的规律逐增。式中乘数“6”，正是六棱锥体的“6”。与六边形相比，式中乘数多“2”（即6-4=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比四边形多“（n+n-1）*2”个。由此可求得六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

（式中n表示扩延次数）

3.5 求证棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理

先求证棱锥体数循序逐增定理。

已知，三棱锥体数=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+……+（n*3）；

四棱锥体数=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）；

五棱锥体数=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）；

六棱锥体数=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+……+（n*6）。

依照归纳法，得棱锥体数循序逐增定理为：

棱锥体数=1+《1*L》+（2*L）+（3*L）+（4*L）+……+（n*L）

（式中L表示棱的量，n表示扩延次数）

现求证棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量循序逐增定理。

已知，三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]；

四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]；

五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

依照歸纳法，得棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量定理为：棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0+[（1+0）*L]+[（2+1）*L]+[（3+2）*L]+[（4+3）*L]+……+[（n+n-1）*L]

（式中L表示棱的量，n表示扩延次数）

3.6 棱锥体数可置换为扇形图来表达

笔者研究结果表明，依照拓扑原理，遵循棱锥体数的循序逐增规律，棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量，可以置换为圆形图来表达。如图31，是表达三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图；如图32，是表达四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图；如图33，是表达五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图。其余略。

4 棱锥体数（含“点之间形成的三角形”的量）与边形数的相近相同现象

在此，值得一提的，如将三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量，跟五边形数及其“点之间形成的三角形”的量作比较，就会发现，三棱锥体的每一次扩延增加的点数比五边形的每一次扩延增加的点数，只是1个点之差；三棱锥体的每一次扩延增加的三角形的量与五边形的每一次扩延增加的三角形的量等同。同理，四棱锥体数跟六边形数作比较，四棱锥体的每一次扩延增加的点数比六边形的每一次扩延增加的点数，只是1个点之差，四棱锥体的每一次扩延增加的三角形的量与六边形的每一次扩延增加的三角形的量等同。事实也表明，五棱锥体数跟七边形数，六棱锥体数跟八边形数……作比较，均存在这种相近相同的情况。对此，笔者认为，棱锥体数（含“点之间形成的三角形”的量）与边形数这种相近相同现象，是数学中值得研究的一个问题。

参考文献

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