基于相似理论的电力变压器缩比关系研究

汪涛，谢齐家，张亚东，杜志叶，阮江军，谭丹，朱琳

(1．国网湖北省电力公司电力科学研究院，湖北武汉430077; 2．武汉大学电气工程学院，湖北武汉430072)

基于相似理论的电力变压器缩比关系研究

汪涛1，谢齐家1，张亚东2，杜志叶2，阮江军2，谭丹2，朱琳2

(1．国网湖北省电力公司电力科学研究院，湖北武汉430077; 2．武汉大学电气工程学院，湖北武汉430072)

相似理论是试验分析中被广泛采用的应用科学方法，以相似理论为基础确立缩比关系有助于从模型测试结论推导至实际模型结论，采用缩比模型试验用于变压器的设计或者特性研究具有良好的经济意义和价值。本文首先对相似理论的基本定律进行了介绍，然后以电力变压器为研究对象，以尺寸和电流幅值作为基本缩比因子推导得到变压器的缩比关系式，基于Ansoft有限元仿真软件，建立了180匝的变压器原模型和缩比模型，最后进行了电磁场数值仿真比较。研究结果表明，原模型和缩比模型的磁场云图分布规律完全相同，对应时刻及对应位置上的磁感应强度幅值满足缩比关系，验证了本文推导的缩比关系。

变压器;相似理论;缩比关系

1 引言

相似理论是透过事物表象，把握事物内部各因素之间规律的一门科学。以相似理论为基础的缩比模型方法可以很好地解决试验的经济性和时效性问题。由于资源所限，相对于实际大模型，构造一个缩比模型并进行测试可以节约大量时间和实验费用。缩比模型测试的结果和构造经验是极其有价值的，这些信息可以用来验证新的技术，设计制造以及测试过程中未曾考虑过的困难，预见整个系统的性能指标。因此，缩比方法被广泛用于工程领域。

在电力系统模型仿真研究中，美国俄亥俄州立大学采用简化缩比模型技术对混合输电线电晕现象进行了研究。全模型和简化缩比模型的测试结果取得一致，新模型的测试结果与计算机仿真结果的一致性也很好，研究取得了很大进步［1-3］。巴西圣保罗大学对配电网缩比模型进行了研究，计算复杂结构配网中雷电感应电磁暂态问题，比较了缩比模型的实验和仿真结果［4］。俄亥俄州立大学对345kV的变电站进行了设计改造，建立了缩比模型，讨论了模型测量的准确性问题。变电站原模型和缩比模型的测试结果显示一致性非常好，绝对值误差的平均值为4.6%［5］。国内清华大学何金良教授基于电磁场理论和相似原理推导了接地装置的冲击接地的模拟理论，模拟实验值和真型实测值吻合很好［6，7］。

变压器是电力系统的重要设备，涉及的器件较多，工作条件复杂，如果全部采用模型试验进行设计或测量，代价太高，有时甚至难以操作。基于相似理论，建立合理的电力变压器分析方法和试验模型，可帮助电力系统试验人员正确、迅速和经济地完成变压器试验的研究和分析。本文的变压器缩比模型主要是针对变压器工作情况下的电磁场分析改进为背景进行研究的。首先对相似理论的基本定律进行了一些解释，然后根据Maxwell方程及本构关系得到了变压器正常工作时的缩比关系式，依据这些关系式，采用一些合适的装备可以构造出反应原始发展过程的相类似的实验。最后采用Ansoft软件对缩比模型变压器内部的磁场进行了仿真验证。

2 相似理论的基本原理

以尺寸参数为例，如果以下标“O”表示原模型尺寸的物理量，以下标“M”表示缩比模型尺寸的物理量，这两个量之比称为尺寸相似常数，或尺寸缩比因子:

当几个基本量的缩比系数同时满足相似条件时，就可以使两模型的外形及过程实现复杂的相似性。在多数情况下，人们试图根据相似准则，使小模型和原模型得到相同结论，这对于一个完整的物理相似现象来讲尤为重要，但对于系统过于严格的描述也时常导致矛盾的出现。此时，模型只能够实现部分相似，至少有一个相似原则被破坏。原则上讲，在一个物理过程中可以存在几种可行的缩比方式。本文得到的缩比关系是基于几何相似下物理量之间的推导变换。

3 变压器缩比关系的推导

3.1 变压器的基本控制方程

相似理论可以通过描述同一物理过程的微分方程推导出缩比定律，而无需对方程式进行求解。电力变压器在正常工作状态下可采用如下方程进行描述。

Maxwell方程是电磁场中的基本方程，这些公式是分析电磁场问题的基本方程。在变压器正常工作时，可以不考虑其位移电流，因此Maxwell方程可描述为［8］:

式中，B为磁感强度;H为磁场强度;E为电场强度; D为电位移矢量;J为电流密度;σ为电导率;μ为磁导率;ε为介电常数;ρ为电荷密度;S为面积。定义l为长度(尺寸);n为线圈匝数。

3.2 缩比关系的推导

式(2)～式(9)为描述典型现象所必须的偏微分方程，这些公式经过简单的推导变换就可以得到缩比定律。作为先决条件，模型必须与原型的物理过程相似，因此原型和模型的控制方程一样，只是物理量的标号有所不同，原型和模型相对应的每个量的值必须保持一定的比例，尤其在原型和模型材料相同的情况下，可以只考虑矢量参数的幅值作为参数进行比较，原型参数的参量可以通过缩比因子k和缩比模型建立联系，原型方可以通过缩比关系式建立起与缩比模型参数间的关系。

以安培定律公式为例。如果原模型的安培定律公式表示为:

则缩比模型的安培定律公式则可表示为:

根据式(1)，引入尺寸l、磁场强度H以及电流密度J的缩比因子，代入式(10)中，可以得到原模型的安培定律:

将式(12)中的缩比系数分离出来变为:

将式(11)代入式(13)可以得到安培定律的缩比参数公式:

将式(3)～式(9)都进行上述变换，就可以得到变压器控制方程的缩比系数方程。将这些缩比系数方程联立最终可求得变压器的缩比关系式。通常，缩比模型和原模型要采用相同的材料，变压器匝数相同，因此，

式(15)要求模型的磁导率与电介质常数必须与原型相同。在真空，顺磁或反磁材料中可以保证原型和模型的磁导率相同。然而，变压器铁心一般是软磁材料，工作于动态磁化条件，由于磁化的非线性和被测对象软磁材料内部结构的复杂性，使得动态磁参数测量的不确定性很大，磁导率和磁场强度在一定范围内为非线性关系。

虽然实际材料的磁化曲线不是直线，μ并非常数，损耗电阻也随频率和磁感应强度而变化，但是可以用线性近似来粗略地勾画出金属软磁材料动态回线和损耗的特点及变化规律。对图1(a)所示的BH磁饱和曲线，可将其分段线性化，如图1(b)所示，分别为起始段0～K1，工作段K1～K2以及饱和段K2～K3。由于变压器铁心主要工作在K1～K2的线性段，为了应用缩比模型，应将缩比电流限制在K1～K2的线性段进行分析。

图1 B-H曲线在缩比模型中的简化模型Fig．1 Simplifymodel of B-H curve in scalingmodel

缩比定律可以由独立变量导出，本文将物理量长度和电流作为基本因子，导出变压器参数的缩比关系如下:

将上述缩比关系式进行统一，列写为式(21)，即变压器的缩比关系式:

如果已知长度和电流的缩比系数，就可以通过缩比关系式(21)计算出其余量的缩比系数，进一步可以通过模型实验的结果推出原型的结果。

3.3 应用范围的限制

完全一致的缩比关系需要描述模型的所有缩比条件都要满足，不能有矛盾，但这是很困难的，甚至是不可能的。例如本文得到的缩比关系式(21)中，为了获得相同的磁场缩比条件，缩比模型和原模型材料的电阻率并不相同，即:kσ=1/kl，但实际情况下缩比模型通常采用和原模型相同的材料，这必然会给缩比关系的计算结果带来一定的误差。

缩比模型和原型中的磁导率必须相同这一先决条件非常重要，因为在铁磁体材料中，磁导率和磁场强度通常为非线性关系。我们可能要避免这样一些问题，例如，当模型和原型的电场都很大时，不得不通过相应的实验来探究应用的限制。对于非线性特性的部件，如变阻器(类似于氧化锌避雷器)以及火花间隙等也需要进行类似的考虑。

4 电磁场仿真验证

为了验证变压器正常工作状态下的缩比关系是否成立，本文根据文献［9，10］，建立了一个180匝变压器模型，如图2所示，变压器各部分的材料参数如表1所示。考虑变压器具有铁心结构，但只考虑线性磁导率情况，铁心磁导率为1000N·A－2，电导率为0.01S·m－1。根据该变压器模型，采用Ansoft有限元计算软件，建立2D涡流场轴对称模型，如图3 (a)所示，图3(b)为其局部放大图形。

图2 180匝连续性线圈模型结构图Fig．2 Model of180-turn continuouswinding

表1 材料参数Tab．1 Parameters ofmaterial

根据图2和图3中的模型建立变压器缩比模型，计算相同材料下的缩比模型结果。根据变压器缩比公式(21)，选择变压器的缩比尺寸为kl=10，即建立尺寸为原模型1/10的缩比模型，缩比模型的材料和原模型相同。

原模型加载有效值为1A、频率为50Hz的正弦电流，缩比模型加载有效值为10A、频率为5Hz的正弦电流，比较原模型和缩比模型的磁场云图，仿真结果如图4所示。

从图4的仿真结果可知，缩比变压器模型和原模型变压器模型的磁场分布相同。根据缩比公式kE= kB=1，这与式(21)中所得的结果是一致的。这证明了带有线性磁芯的变压器的缩比关系是成立的。

图3 180匝连续性线圈Ansoft仿真模型图Fig．3 Simulationmodel of180-turn continuouswinding based on Ansoft

图4 变压器磁场云图仿真结果Fig．4 Simulation results ofmagnetic field distribution in transformers

为了进一步比较原模型和缩比模型的磁场仿真结果，在变压器模型上选取一条路径，如图3所示，原模型路径AB的顶点坐标为A(0.145，0.562)，底面坐标为B(0.145，0);相应的缩比模型路径A'B'的顶点为A'(1.45，5.62)，底面坐标为B'(1.45，0) (坐标单位:m)。原模型和缩比模型沿路径的磁感应强度仿真结果如图5所示。可知，两个模型相同路径下的磁感强度分布完全相同，幅值大小也相同，这进一步证明了缩比关系式(21)的正确性。

图5 变压器对应路径上的磁感应强度仿真结果Fig．5 Magnetic strength on corresponding place of twomodels

5 结论

本文中对相似理论的基本原理进行了阐述，基于Maxwell方程及基本电路方程等对正常工作的变压器进行了缩比关系的推导。建立了一个简单的180匝变压器，仿真结果显示，在线性磁心存在时，无论是高频还是低频情况下，电场强度和磁场强度的幅值及分布趋势都能按照式(21)中的结果进行缩比，因此本文推导的缩比关系是成立的。这些定律显示，在合适的应用条件下，构建的实验模型与原型具有相似性，一些现象可以被重新“复制”。结果可以通过物理量的缩比系数反推回原模型。

参考文献(References):

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Research on scaling relationship of power transformer based on sim ilarity theory

WANG Tao1，XIE Qi-jia1，ZHANG Ya-dong2，DU Zhi-ye2，RUAN Jiang-jun2，TAN Dan2，ZHU Lin2
(1．Hubei Electric Power Testing＆Research Institute，Wuhan 430077，China; 2．School of Electrical Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，China)

Similarity theory is a widely used application scientificmethod in experimental analysis．The scaling relationship based on similarity theory is helpful to extrapolate the result from small-scale tests to large-scale experiments．Firstly，the paper introduces the fundamental law of the similarity theory．Secondly，the scaling relationship of power transformer under normal condition is derived．The dimension and magnitude of current are chosen as the basic factor．At last，based on Ansoft simulation code，an original transformer of 180 turns and a scalemodel are simulated．The electromagnetic field simulation results show that themagnetic field distributions of the twomodels are the same．Themagnetic strengths on the corresponding place of the twomodels satisfy the scaling relationship．The result verifies the scaling relationship we derived．The scalemodel is helpful to design transformers and to investigate the power frequency characteristic which makes remarkable economic significance and value．

transformer;similarity theory;scaling relationship

TM406

A

1003-3076(2015)06-0076-05

2013-12-17

汪涛(1964-)，男，四川籍，教授级高工，研究方向为高电压与绝缘技术;谢齐家(1982-)，男，湖北籍，高级工程师，研究方向为高电压与绝缘技术。