微积分在初等数学中的运用

蔡洪新

摘 要：本文主要运用微积分的思想方法及其相关基本定理来指导初等数学中一些问题的解决，主要包括中学代数与几何中一些初等数学问题。文章主要举例说明微积分在几何图像的面积、切线方程的求解等几何问题以及初等函数的单调性、极值、不等式等代数问题中的应用，为这类初等数学的问题提供更简单、实用的解决方法。

关键词：微积分 初等数学 应用

中图分类号：O12-4；G652；O172 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2014）12-247-03

一、引言

微积分作为高等数学主要构成部分，同时也是高等数学和初等数学相互连接的地方之一，所以对于微积分运用于初等数学的研究有着很重要的意义。有些初等数学问题的解决方法通常有很多种，但是都存在一定的缺陷，比如说解题方法比较复杂，学生不容易理解或者记忆等。而这类问题用微积分来解决的话不但简单实用、容易理解，并且可以凸顯出问题的实质，在中学数学中，微积分是研究初等函数和几何问题最有效的工具。因此本文主要通过举例来说明微积分在初等数学中的函数单调性、极值、切线方程求解、不等式等问题上的有效运用。

二、微积分在中学几何中的运用

微积分的两大部分为微分与积分，而微分在一元函数的情况下实际上求微分就是求一个已知函数的导数。而我们知道导数的几何意义就是表示函数曲线在某点处的切线的斜率，其本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。同样我们也熟悉定积分的实质就是求函数在某个区间中图线下包围的面积。那么对于微积分在初等数学中几何运用主要就在于这两个方面。

（一）用微积分求解切线

圆的切线在初中数学里定义是该直线与圆仅有一交点，然而该定义如果运用在其他的曲线上来求切线便是错误的。比如，抛物线 和直线x=0的交点只有一个，但不是其切线，等等。所以在初中数学中切线是没有普遍的定义的。但微积分却能够给出曲线的切线普遍定义。

我们知道函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f（x0）。相应地，切线方程为y-y0=f/（x0）（x-x0）。这样我们便可以用微积分轻而易举的来求曲线的切线相关几何问题。

例：在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是（）

A.3 B.2 C.1 D.0

[解析]：切线的斜率为

又切线的倾斜角小于 ，即

故

解得：

故没有坐标为整数的点。

如果该题不用微积分求解，而只是画图之类，用初等数学的知识便无从下手。

同样，此类有关切线的问题用微积分求解简直是轻而易举之事，但是在初等数学里却没有相关的其他求解方法，可见对于曲线的切线问题微积分是多么的重要。

（二）用微积分求解面积、体积

在中学几何中，对于一些常见几何体的面积、体积都会有相对应的公式，但是这些公式是怎么推导出来的却没有相应的解释。对于曲线围成的面积或者体积无法进行求解，而学了微积分后我们便可以对这些公式进行严格的推导，并且能够解决面积求解的问题。

从定积分的几何意义可知：

① 若在 上， 则 表示由曲线 和直线 轴所围成的曲边梯形面积。

② 在 且曲边梯形的曲边位于x轴的下方，故这时定积分 表示曲边梯形面积的负值；

③ 在 上， 既取得正值又取得负值时，函数 的图形部分位于 轴上方，部分位于 轴下方，此时定积分 表示 轴上方图形面积与 轴下方图形的面积的差，即各部分面积的代数和。

由定积分的几何意义可知，我们可以很容易的通过定积分对图形的面积进行求解，同样对于体积的求解也非常简单。比如，由方程 与 以及 所围成的平面图形绕 轴与 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 与 。

例1：直线 ， 与曲线 还有 轴共同围成的图形面积为（）

A. B. C. D.

解：如图所示，该区域面积为 ，则选D.

因为由两条曲线 所围成的平面图形面积为

。当然对于更加复杂的直角坐标系下的平面

图形面积的计算也能够轻松的计算出来，如由方程 与 以及

所围成的平面图形面积为 。

例2推导圆面积公式

解：以圆心作为二维坐标原点，那么可知圆方程是 ，它的圆面积是

令 ，那么

通过上述可知对于初等数学中面积、体积公式的推导可以有微积分严格的推导出来，并且可以对相对比较复杂的几何图形进行面积甚至体积的简易求解。如此，可以提升初等数学严谨性，并且还能够扩展中学数学内容，为高等数学的学习打下坚实的基础。

三、微积分在中学代数中的运用

由导数的几何特性我们可以知道在函数的图像中可以运用导数来处理一些数学问题。比如说函数的单调性、极值、最值等相关问题的求解都是可以用导数进行简单的求解。当然对于微积分在中学代数中的运用还有数列求解、不等式的证明等方面，本节会给出一些主要的例子进行说明。

（一）函数单调性

单调性作为函数最基本特性之一，是中学函数需掌握的最基础的知识.而用其定义来求解函数的单调性技巧性很强，并且不易掌握，但用导数来处理函数单调性问题却简单又快捷。

（1）设函数 在某个区间（a，b）可导，如果 ，则 在此区间上为增函数；如果 ，则 在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有 ，则 为常数。

由上述定理可知，我们要求解函数的单调递增或者递减区间的时候只需要求其导数，然后用其导数的正负值便可以很容易的知道该函数的单调区间，不需要任何的技巧，也特别易于掌握。

例 设 恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

解：

若 ， 对 恒成立，此时 只有一个单调区间，矛盾；

若 ， ∴ ， 也只有一个单调区间，矛盾；

若 ∵ ，此时 恰有三个单调区间。

∴ 且单调减区间为 和 ，单调增区间为

假若该题使用函数单调性的定义进行求解，需要设定 ，然后将其代入函数 中相减来比较大小以判断函数的增减性去分类求解a的取值范围，这样不断需要进行化简，还需要复杂的讨论，比较耗时耗力。而上述求导的方法却可以轻易的解决，这就是微积分在判定函数单调性上的优势。

（二）极值、最值

初等数学里，通常使用配方、不等式等来求解极值、最值。这些方法通常有3个缺点：1）技巧性较高，尤其对于复杂的数学问题；2）适用面比较窄，仅可以解决一些特殊性数学问题；3）容易使得极值与最值混淆，从而遗漏极值。然而用微积分来求解极值、最值，通常有固定步骤可循，并且技巧性也较低，同时适用面也较广，其极值与最值也较易区分。

我们知道曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；这样我们只需要求解函数的导数就可以判定函数的极值了。

例1函数 已知 时取得极值，则 =（）

A.2 B.3 C.4 D.5

[解析]：∵ ，又 时取得极值

∴

则 =5

例2函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是多少？

[解析]：由 =0，得 ，

当 时， >0，当 时， <0，当 时， >0，

故 的极小值、极大值分别为 ，

而

故函数 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

通过上述两个例题可知，对于函数极值、最值的求解使用微积分能够很容易解决，并且不需要什么技巧，容易掌握。

（三）数列

数列作为初等数学中一个难点，数列的求解技巧性太强，可以难倒众多考生。数列问题最常见的莫过于求通项公式、求和、极限等。这从某种程度上来说和微积分有相似之处，运用微积分在解决某些数列问题可以达到一目了然的效果，并且易学易懂，下面举例进行说明。

例1数列 中， ， ，

（1）求解数列 通项公式；

（2）该数列的前 项的和记为 ，需证明 。

解：（1）由上可得 ， ， ，那么可推断 ，

通过数学归纳法能证明（略）。

（2）可构造函数

由于 ，

当 时， ，则 是单调递增性函数，

则 ，所以 ，

= 。

即 。

说明：因为数列可认为是定义域是自然数的函数，因此数列问题也可转化成函数问题来解决，题中第（2）小题的解法，首先需构造函数，再通过导数求解函数单调性，从而可得到 ，再把 换成自然数 相关形式，这样便使得问题得到解决，这类问题一般解法就是如此。

像此类数列问题假若用其它方法进行求解简直是举步维艰，而用上述导数方法求解却显得尤为简单，并且步骤可循。导数作为新教材的新增内容，给中学数学增添活力，提供了新的思想，对数列问题的解决有实质性的意义，通过导数来研究数列单调性及、最值、求和等问题比传统的方法更加简单。

例2求

分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限。

解 将区间 等分，则每个小区间长为 ，然后把 的一个因子 乘入和式中各项。于是将所求极限转化为求定积分。即

=

= 。

分析：用定积分来求解该类数列问题可以达到简便、快速的效果，如果用其它的方法来解题，其求解过程复杂，耗时较多，并且不易熟练。

通过上述两个例题可以说明微积分在初等死数学中数列问题的应用上可以取得意想不到的效果。用微积分高等数学的思想来解决数列问题简易、快速，值得在中学教学中进行推广，不但能够开阔学生的解题思维，并且可以为以后学生进一步的深造打基础。

（四）不等式、恒等式

由微积分在数列问题上的应用可知，微积分同样可以用于不等式，因为同样可以将不等式问题转化为函数问题，可以通过函数的单调性等特征来解决不等式的数学问题。

例1已知f（x）= 在x=1，x= 时，都能取得极值。

（1）求a、b的值。

（2）若对 ，使得 恒成立，求解c值范围。

解：（1）由题意得f（x）= 的两个根是1和

通过韦达定理，知：1 = ，

那么 ，

（2）由（1），有 （x）=+，f/（x）=

当 时， ，而当 时， ，又当 时， ，

当 时， 可取得极大值 ， ，

∴ 当 ， 最大值是

对 ，均使得 恒成立，∴ ，

可得 或

例2求证：

证明：假设 ，那么

因此 ，令 ，可得

，所以 .

通过上述两个例题可知，导数在不等式、恒等式问题的处理上有其优越性，当然上述例题只是不等式、恒等式运用导数的一方面，对于其他类型的不等式、恒等式我们还可以用导数的定义、极值、最值等特性来进行处理，这不仅能够简化该类问题求解的过程，还能够开阔学生的思维方式。

四、结论

从上述内容可知，运用微积分的思想、方法来解决初等数学问题显示出了其解题的优越性。微积分不仅能够简化问题、加速解题的时间；还能使得学生从更深处来看待数学问题；同时还能给学生的解题思路一些启发，开阔学生的思维，真是可以达到一举多得的效果。当然微积分在初等数学中的运用很广泛，还有很多用法需要我们进一步探索和研究，对于完善微积分在初等数学中的运用、提升数学教学的质量、完美接合高等数学的研究具有很重要的价值与意义。

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