2015年高考数学模拟试题
2015-05-30蔡勇全
蔡勇全
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|（x-1）（x-5）<0}，B={x|log2x≤2}，则A∩B=（）.
A.{x|0 C.{x|1 2.在复平面内，复数z和2i2-i表示的点关于虚轴对称，则复数z=（ ）. A.25+45iB.25-45i C.-25+45i D.-25-45i 3.下列说法正确的是（ ）. A.“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件 B.若p：x0∈R，x20-x0-1>0，则┐p：x∈R，x2-x-1<0 C.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D.“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若 α≠π6，则sinα≠12” 4.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图1所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图，下列结论正确的是（ ）. 图1 A.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 图2 5.如图2所示，A，B两点分别在河的两岸，测量人员在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50米，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点之间的距离为（ ）. A.503米B.253米C.252米D.502米 6.在用0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的五位数中，奇数的个数是（ ）. A.24B.36C.48D.72 7.若x，y满足约束条件x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（ ）. A.（-4，2） B.（-4，1） C.（-∞，-4）∪（2，+∞） D.（-∞，-4）∪（1，+∞） 图3 8.已知实数x∈[1，10]，执行如图3所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（ ）. A.19B.29 C.49D.59 9.设P是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上除顶点外的任意一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，则F1M·MF2=（ ）. A.a2B.b2C.a2+b2D.12b2 10.已知函数f（x）=ex+mex+1，若对a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个 三角形的边长，则实数m的取值范围是（ ）. A.[12，1]B.[0，1] C.[1，2]D.[12，2] 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.（x-1x）6的展开式的中间一项是 . 12.在Rt△ABC中，C=π2， B=π6，CA=1，则|2AC-AB|= . 13.如图4所示的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 . 图4 14.已知等边三角形的一个顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则该三角形的面积是 . 15.设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-2.3]=-3.给出下列命题： ①对任意实数x，都有x-1<[x]≤x； ②对任意实数x，y，都有[x+y]≤[x]+[y]； ③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90； ④若函数f（x）=[x·[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A的元素个数为an，则an+49n的最小值为192. 其中所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）设平面向量m=（cos2x2，3sinx），n=（2，1），函数f（x）=m·n. （Ⅰ）当x∈[-π3，π2]时，求函数f（x）的取值范围； （Ⅱ）当f（α）=135，且-2π3<α<π6时，求sin（2α+π3）的值. 17.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=32an+n-3. （Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列； （Ⅱ）令cn=log3（a1-1）+log3（a2-1）+…+log3（an-1），对任意n∈N*，是否存在正整数m，使1c1+1c2+…+1cn≥m3都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 18.（本小题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图5所示的频率分布直方图. 图5 （Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）如图6所示，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD，M是线段AE上的动点.
图6图7（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分13分）如图7所示，已知圆E：（x+3）2+y2=16，点F的坐标为（3，0），点P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等
式f（g（x）） 参考答案 一、CADBDBACBD 二、11.-2012.213.16 14.12315.①④ 三、解答题 16. 解（Ⅰ） f（x）=（cos2x2，3sinx）·（2，1）=2cos2x2+3sinx=cosx+3sinx+1=2sin（x+π6）+1.当x∈[-π3，π2]时，x+π6∈[-π6，2π3]，则有-12≤sin（x+π6）≤1，0≤2sin（x+π6）+1≤3，所以f（x）的取值范围为[0，3]. （Ⅱ）由f（α）=2sin（α+π6）+1=135，得sin（α+π6）=45，因为-2π3<α<π6，所以-π2<α+π6<π3，得cos（α+π6）=35，因此有sin（2α+π3）=sin[2（α+π6）]=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2×45×35=2425. 17. 解（Ⅰ）当n=1时，S1=a1=32a1-2，解得a1=4，当n≥2时，由Sn=32an+n-3得Sn-1=32an-1+n-4，两式相减，得Sn-Sn-1=32an-32an-1+1，即an=3an-1-2（n≥2），则an-1=3（an-1-1），故数列{an-1}是以a1-1=3为首项、3为公比的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3（a1-1）+log3（a2-1）+…+log3（an-1）=1+2+…+n=n（n+1）2，所以1cn=2n（n+1）=2（1n-1n+1），则有1c1+1c2+…+1cn=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2（1-1n+1），由1c1+1c2+…+1cn≥m3对任意n∈N*都成立，得2（1-1n+1）≥m3，即m≤6（1-1n+1）对任意n∈N*都成立，又m∈N*，所以m的值为1，2，3. 18. 解（Ⅰ）设平均成绩的估计值为X，则有X=（20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100×0.012+120×0.003+140×0.001）×20=80.4. （Ⅱ）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5，且P（ξ=3）=（23）3+（1-23）3=13， P（ξ=4）=C23×（23）2×（1-23）×23+C13×23×（1-23）2×（1-23）=1027， P（ξ=5）=C24×（23）2×（1-23）2×23+C24×（1-23）2×（23）2 ×（1-23）=827（或者P（ξ=5）=1-13-1027=827）.则ξ的分布列为 ξ345 P131027827 所以ξ的数学期望Eξ=3×13+4×1027+5×827=10727. 图8 19. 解（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF.证明如下： 连接CE，交DF于N，连接MN，如图8所示，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，由于MN平面DMF，又AC平面DMF，所以AC∥平面DMF. 图9 （Ⅱ）方法一如图9所示，过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，过点M作MG⊥AD于G，因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD ，则平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，过G作GH⊥l于H，连接MH，则直线l⊥平面MGH ，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×25= 25，MG=12DE=1，则MH=（25）2+12=35，所以cos∠MHG=GHMH=25÷35=23，即所求锐二面角的余弦值为23. 图10 方法二因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以DA，DC，DE 的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图10所示.设AB=2，则M（1，0，1），F（0，4，2），DM=（1，0，1），DF=（0，4，2），设平面MDF的法向量为n1=（x，y，z），则n1·DM=0，n1·DF=0，即x+z=0且4y+2z=0，令y=1，得平面MDF的一个法向量n1=（2，1，-2），取平面ABCD的法向量n2=（0，0，1），由
n1·n2=
|n1||n2|cos
20. 解（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=
|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=23，故动点Q的轨迹Γ是以E、F为焦点，长轴长为4的椭圆.设其方程
为x2a2+y2b2=1（a>b>0），可知a=2，c=a2-b2=3，则b=1，所以点Q的轨迹Γ的方程为x24+y2=1.
（Ⅱ）存在最小值.
（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆上的上图11、下顶点（或左、右顶点），则S△ABC=
12×|OC|×|AB|=ab=2.
（ⅱ）方法一当直线AB的斜率存在且不为0时，如图11，设斜率为k，则直线AB的方程为y=kx，设点A（xA，yA）联立方
程组x24+y2=1，y=kx消去y得x2A=41+4k2，y2A=4k21+4k2.
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为y=-1kx，同理可得点C的坐标满足x2C=4k2k2+4，y2C=4k2+4，则|OA|2=41+4k2+4k21+4k2=4（1+k2）1+4k2，|OC|2=4k2k2+4+4k2+4=4（1+k2）k2+4.S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=4（1+k2）1+4k2×4（1+k2）k2+4=4（1+k2）（1+4k2）（k2+4）.
由于（1+4k2）（k2+4）≤（1+4k2）+（k2+4）2≤5（1+k2）2，所以S△ABC=2S△OAC≥4（1+k2）5（1+k2）2=85
，当且仅当1+4k2=k2+4，即k2=1时取等号.
综合（ⅰ）、（ⅱ）可知，当k2=1时，△ABC的面积取得最小
值85，此时x2C=4k2k2+4=45，y2C=4k2+4=45，即xC=±255，yC=±255，所以点C的坐标为（255，255），（255，-255），（-255，255），
（-255，-255）.
方法二前同（ⅰ），对于（ⅱ），记t=1+k2，则t≥1，所以0<1t≤1，故S△ABC=
4t2（4t-3）（t+3）=41-9t2+9t+4=41-9（1t-12）2+254，当1t=12，即k2=1时， -9（1t-12）2+254有最大值
254，此时S△ABC取得最小值85.
综合（ⅰ）、（ⅱ）可知，当k2=1时，△ABC的面积取得最小
值85，此时x2C=4k2k2+4=45，y2C=4k2+4=45，即xC=±255，yC=±255，所以点C的坐标为（255，255），（255，-255），（-255，255），（-255，-255）.
方法三设A（x0，y0），C（x1，y1），因为A、B两点关于原点对称，所以B（-x0，-y0），|AB|=2x20+y20，由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，kAB=
y0x0，kOC=y1x1.因为点C在椭圆上，所以x214+y21=1，又因为y0x0·y1x1=-1，故联立这两个式子解得x21=4y204x20+y20，y21=4x204x20+y20，所以|OC|=2x20+y204x20+y20，S△ABC=12|OC|·|AB|=
2（x20+y20）4x20+y20，又x204+y20=1，即x20=4-4y20，所以S△ABC=8-6y2016-15y20，记t=16-15y20，t∈[1，4]， y20=1615-t215，
则S△ABC=85t+2t5≥285t×2t5=85，当且仅当t=2，即y0=±255
时等号成立，因此y0=±255时，S△ABC取得最小值85，此时点C的坐标为（255，255），（255，-255），（-255，255），（-255，-255）.
21. 解（Ⅰ）由f（x）=ex-ax-1可得f ′（x）=ex-a.当a≤0时，对任意x∈R，有f ′（x）>0，所以函数f （x）在区间（-∞，+∞）上单调递增；当a>0时，由f ′（x）>0可得x>lna，由f ′（x）<0可得x 综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a>0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间 为（-∞，lna）. （Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=ex-1x-lnx（x>0）， 令h（x）=ex-1x-lnx（x>0），则h′（x）=（ex-1）（x-1）x2，由于x>0，ex-1>0，可知当x>1时，h′（x）>0；当0 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当x>0时，ex-1>x，故对任意x>0，g（x）>0.先用分析法证明这样一个事实：对任意x>0， g（x） 意x>0，xex-ex+1>0，构造函数H（x）=xex-ex+1（x>0），则H′（x）=xex>0，故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，所以H（x）>H（0）=0，则对任意x>0，xex-ex+1>0成立.当a≤1时，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（g（x）） （收稿日期：2014-08-22）
