关于等价无穷小应用的思考

李蕾

摘 要：函数极限是高等数学的一个重要内容。求函数的极限是学习高等数学所要掌握的技能。在求极限的过程中，有些函数的极限不容易求出，大多数人都会想到用罗比塔法则，其实等价无穷小的替换在求解函数的极限时也是一种不错的方法。

关键词：无穷小；等价无穷小；替换；罗比塔法则

中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2015）01-041-01

函数极限是高等数学的一个重要内容。求函数的极限是学习高等数学所要掌握的技能。在求极限的过程中，有些函数的极限不容易求出，大多数人都会想到用罗比塔法则，其实等价无 穷小的替换在求解函数的极限时也是一种不错的方法。本文将对无穷小量的替换进行思考。

一、无穷小的概念

如果当x→ （x ）时，函数f（x）的极限为零，那么函数f（x）叫做当x→ （x ）时的无穷小量，简称无穷小。

注意：（1）无穷小是一个无限趋近于零的变量，它不一定恒等于常数零。

（2）无穷小与变化过程有关，不能笼统地说某一变量是无穷小，必须说明是哪一个变化过程中成为无穷小量。

（3）该变量以零为极限。无穷小是在其变化过程中可以取正值，可以取负值，也可以取零，但是就變量所取值的绝对值可言，必须能无限制地变小。

（4）不要把一个绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x （或x ）时，极限为常数本身，并不是零。常数中只有“0”是无穷小，因为lim0=0。

二、无穷小的比较

设 ， 都是x 时的无穷小，做 与 比值的极限。若比值的极限为非零的常数，则称 ， 为x 时的等价无穷小；若极限为零，则称 是 的高阶无穷小；若极限为无穷大，则称 是 的低阶无穷小。

例： ，所以sinx是x的等价无穷小

三、常用的等价无穷小量替换：

（ 0且为常数）

例：求

解：当x 0时， ， ，故

例：求

解：当x 0时，ln（1+2x） 2x，arcsin3x 3x，故 = =

虽然等价无穷小在求函数极限时使得求解过程的简单，但它并不是万能，它的使用是有条件的，稍不注意就会出现计算错误。

例如：求极限

如果此题按如下步骤做就错了

因为代数和的部分无穷小不能分别做替换

又如

从表面上看，似乎ln（1+sinx） sinx，sinx x，其实复合函数中的变量不能做等价无穷小代换。

通过对等价无穷小的了解，我们发现求极限并不是只能用罗比塔法则，还可以用等价无穷小。但在用等价无穷小时，还要充分考虑能够用它的条件，否则会使函数极限的结果有误。

参考文献：

[1]李景龙 杜晓梅 陈玄令 高等数学[M]化学工业出版社2012

[2]周喆 高等数学[M]中国中医药出版社2009

[3]吴智泉 数学分析（上册）[M]吉林大学出版社1998

[4]吴赣昌 医用高等出版社数学[M]中国人民大学出版社2009