渗透学科思想乃是学科教学之道

周新伟 吴利华

解析几何大题是高考的必考内容，更是学生难以突破的一大瓶颈。历年来关于解析几何大题的研究论文可谓汗牛充栋，解析几何大题的研究趋势也从宏观走向微观，粗放走向集约。但在这转变过程中也出现了过于追求枝节或过于程式化的倾向，忽视了解析几何学科思想的渗透，降低了解析几何研究应有的高度。笔者以常见于报端的“设而不求”与“设而求之”为例加以说明。

一、载体

本文选择2011年江苏高考第18题作为研究载体，她结构简单而内蕴丰富，选择多样而繁简有别，被誉为最具解析几何味道的试题，曾连续三年（2012、2013、2014）入选《普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明》之典型题示例，指引着江苏高考解析几何大题的考查方向。

题目：如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆—+—=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k。

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值;

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d;

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB。

二、殊途

1.途径一——“设而求之”

解析几何中，坐标系的建立，实现了作为几何图形的基本元素点与实数对之间的对应关系，即建立了点用数表示的规则，找到了将所有的几何问题转化为代数问题的“主导参数”（即点的坐标），因此，就提供了把所有的几何问题无一例外地转化为代数问题的可能。

所以将点的坐标用“主导参数” 以“显性”的方式加以表达是突破解析几何大题最常用的策略，“求交点”成为整个解题过程的主旋律。

解：（1）（2）答案从略。

（3）将直线PA的方程y=kx代入—+—=1，解得x=±—。

记μ=—，则P（μ，kμ），A（-μ，-μk）。

于是C（μ，0），从而直线AB的方程为y=—（x-μ）。

代入椭圆方程得（2+k2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，

解得x=—或x=-μ，故B（—，—）。

于是直线PB的斜率

k1=—=—

=-—，

得k1k=-1。

故PA⊥PB。

2.途径二——“设而不求”

“设而求之”固然是突破解析几何大题的基本思路，但有时“求交点”比较繁琐甚至不可操作，此时应考虑先将该点（如点）坐标“隐性”地设出来，再用“结合关系”列出约束条件，将图形条件化为代数条件，另在目标的引导下合理处理方程（组），以达到“设而不求”的目的。

解：（1）（2）答案从略。

（3）由题意设P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）则C（x0，0）。

∵A、C、B三点共线，∴—= —=—……①

又因为点P、B在椭圆上，

∴—+—=1，……②

—+—=1，……③

②-③得：kPB=—=-—。

∴kPA·kPB=—[-—]=-—·—=-1。

∴PA⊥PB。

三、同归

上述两种解题策略表面上看相距迢迢，其实它们形异质同、殊途同归。

考察①②③三个方程，若设k=—，将方程①③联列即可求出点B的坐标为B（—，—），进而得到kPB·kPA=-1，故有PA⊥PB，这一证明过程即为“设而求之”，需要学生对运算有锲而不舍的精神。“设而不求”则是将方程②③联列，得到目标中kPB的表达式，再结合方程①整体消去x0，y0，x1，x1。这一过程的实现往往需要目标的引导，需要一定的代数变形技巧和强大的运算自信。

由此可见，“设而求之”与“设而不求”并无本质上的差别，两者仅是方程（组）处理的顺序和消元的方式不同，前者相当于代入消元，后者相当于整体消元。

解析几何给几何研究提供了一个新方法，其方法论价值远高于其本身，“这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（即图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”因此，渗透解析几何学科思想乃是学科教学之道。在日常教学研究中应避免发生因为研究对象复杂，抑或过分追求程式化，引起很多枝节，从而淹没了基本方法的现象，这也正是笛卡尔留给我们的一个教训。 （他就是因为讲了很多复杂的作图题，把他的关于解析几何的基本思想淹没了。）

参考文献：

[1]（美）莫里斯·克莱因.古今数学思想（二）[M].朱学远，等译.上海：上海科学技术出版社，2007.

[2]李铁安，宋乃庆.高中解析几何教学策略——数学史的视角[J].数学教育学报，2007（02）：90—94.

（作者单位：江苏省天一中学）