用脑学习与学习用脑
2015-05-30汪国山
汪国山
【分类号】G420
摘要：知识学习是学生必要的基础学习，能力培养是学生的提高学习和根本目的。注意用脑学习及在学习过程中即时用脑调控学习任务、目标、方法、手段等，才是能力提高的关键。本文通过一道具体的数学题让读者体验、思考、感悟其中的道理，从而获得这种获得能力。
关键词：用脑学习 过程调控 培养能力
有这样一道数学题：两条线段集一点组成一个角（图1所示），若在角内向顶点引一条线段可组成几个角？向顶点引两条、三条线段又可分别组成多少个角？若引出N条线段又可组成多少个角？请你实际画一画找出其中的规律。
我们通过实际画发现：引出一条线段（图2）可以组成3个角;引出二线段（图3）可以组成6个角;引出三条线段（图4）可以组成10个角;引出四条线段（图5）可以组成15个角。若要回答引出N条线段可以组成多少个角，就必然要找出它的规律。对此，我们参照它们组成的角度，试图找到它们的通项，可写了很多个都不合适。它们的通项是什么呢？究竟怎样才能找到它们的规律呢？于是我们按照题目的要求再实际画每一种情况组成的角度数，并认真分析它们的单角数，跨一条线段组成的角度数，跨两条线段组成的角度数，跨三条线段组成的角度数，以此类推，结果它们的规律自然就显露出来了，现将分析过程及数据列表如下。（见下页）
由表可知一个角内引出N条线段可以组成一个首项为N+1、尾项为1、等差为1、共有N+1项的递减数列，求它一共可组成多少个角的数量，也即求这个数列的和。可有两种方法：一是将首项与尾项相加，次项与次尾项相加，类推，这样可得到（N+1）÷2项、每一项大小为（N+2）÷2的数，其和为（N+1）*（N+2）÷2。另一方法是将这一递减数列之和转化为求一个底边为N+1、上底为1、高为N+1的等腰梯形的面积，即（上底+下底）*高÷2，即有[（N+1）+1]*（N+1）÷2。题解完毕。
引出的
线段数
单
角
数
跨一条
线段的
角度数
跨二条
线段的
角度数
跨三条
线段的
角度数
跨四条
线段的
角度数
······
······
······
跨N条
线段的
角度数
总计的
角度数
1
2
1
3
2
3
2
1
6
3
4
3
2
1
10
4
5
4
3
2
1
15
··
··
··
··
··
··
··
··
N
N+1
N
N-1
N-2
N-3
····
1
（N+1）（N+2）
2
（上页表格）
然而同样是画出角来，计算总计的角度为什么就写不出通项，即找不出它的规律呢？这就是当我们解题（或解决其他问题）遇到困难或障碍时，要及时调整思路，转换解题方法，否则一条道走到底也许要花费更大精力和更多时间，也许是方法根本性的错误，用之无法来解决问题。像本题这样只考察总计角度，如果花足够深的功夫也许能找到通项，但事倍功半，得不偿失。元认知理论告诉我们人们在解决问题时，必须时时对认知（解决问题是实践过程同时也是认知过程）结果进行反省、监控、以致调整，直至达到最终目标。本题即是对解题过程反思、监控、调整的典型案例。
其次，不仅在方法上知道转换思路调整方法，而且要从解题的具体过程中落实转换思路，将软方法转化为解决具体问题的硬方法，注重解题过程分析与研究，从而达到目的。像上述这道数学题若不从画角入手，并在画的过程中列出单角数、跨一条线段组成的角度数、跨二条线段组成的角度数、以此类推，直至跨N条线段组成的角度数，就不能发现当一个角被N条线段分割时，单角数和跨各线段角数及它们之间的关系，也即上述表格中最下面一行的数据就无从可得，因而本题无从求解。可见解题或解决实际问题，关注过程落实，注重过程分析是至关重要的。
上述在解题或解决实际问题过程中的适时监控、反思、调整是充分发挥主观能动性的体现，是自主解决问题的关键;也是学生提升自己分析和解决问题能力的必要手段;还是学会学习、养成爱动脑习惯的重要途径。而注重分析具体问题，具体应用方法是解题的实际过程和内容，没有它就无从谈对解题过程的监控调整，也无从谈达到最终的解题目的。这是解本题的二点重要启示。
