斐波那契与“兔子数列”

佟丽宁

自然界中有各种各样的生物，但是也许你并不知道，很多生物的生长规律都有相似之处，接下来我们将用一个数列揭示出其中的奥秘。

1202年，意大利数学家斐波那契在他出版的一本书中提出这样一个问题：

假设有一对刚出生的小兔子，一个月能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子。按照每对刚出生的小兔子一个月后长成大兔子、每对大兔子每月生一对小兔子的规律进行下去，假设一年内没有兔子死亡，则一年后会有多少对兔子？

从数学的角度考虑，当有大量繁杂且易混的数据需要处理时，列表分析是一种很有效的手段。针对上面的问题，我们可以列出表1。通过列表，我们不但可以很清楚地知道结果。而且可以直观地了解到整个过程中每一步的情况。

现在我们知道一年后会有233对兔子。如果按照这种规律计算下去，我们就会得到一个神奇的数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…。由于这个数列是数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入的，所以人们把它叫作“斐波那契数列”（也叫“兔子数列”）。

仔细观察，我们会发现这个数列很有意思，包含很多规律，比如：从第三项起。每一项都等于前面相邻两项之和；每个奇数项（第一项除外）的平方都比前后与之相邻的两项之积大l，每个偶数项的平方都比前后与之相邻的两项之积小1；第3、6、9、12、…项的数，能被2整除，第4、8、12、…项的数，能被3整除，第5、10、15、…项的数，能被5整除。斐波那契数列包含的规律还有很多，大家可以自己找找看。

以上所描述的还不是斐波那契数列最神奇的地方。当我们仔细观察自然界时，会发现很多生物都在用自己的方式展示斐波那契数列。自然界中很多植物的花瓣的数目都恰是斐波那契数列中的数。比如在图1中，我们能看到1个花瓣的马蹄莲，2个花瓣的虎刺梅。3个花瓣的延龄草，5个花瓣的飞燕草。8个花瓣的大波斯菊，13个花瓣的瓜叶菊。一些植物的果实对这个数列也有“特殊偏好”。如图2，向日葵种子的排列可同时看作两组螺旋线，如果我们用一对数表示向日葵中沿逆时针、顺时针方向旋转的螺旋线的条数的话，一般可以得到（21，34）或（34，55）或（55，89）或（89，144），它们恰好是斐波那契数列中两个相邻的数。在一些树木的生长过程中，每层树枝的数目也构成斐波那契数列（如图3）。大自然就是这么神奇！

为什么自然界中很多植物的生长规律会不约而同地遵循斐波那契数列呢？这是因为按照适者生存的法则，在长期的进化过程中。这样的布局能使植物更充分地吸收阳光和空气，更有利于植物的生长。

斐波那契数列看似简单，却蕴藏着无穷无尽的秘密。学习数学，就要把这些隐藏着的秘密从自然现象中挖掘出来，对它们进行研究。从而使我们的生活变得更美好。

责任编辑：潘彦坤