作图问题

张景中

同学们 对尺规作图问题了解多吗？

经过多年的艰苦探索，数学家证明了所谓“三大作图难题”实际上是三个“不可能用尺规完成的作图题”。

旧的问题解决了，数学家又提出了改变作图规则之后的作图问题。

一个方向是放宽限制，比如：直尺上有了刻度，又能干些什么？又如：设计出能画别的曲线的仪器，能把任意角三等分的仪器，使作图法变得更加丰富而实用，

相反的方向是加强限制，比如：几何里讲的直尺理论上可以任意长，圆规的半径也可以任意大，你可以从北京到上海连一条线段，也可以以兰州为圆心，画一条穿过南京的圆弧，可实际上，我们用的圆规和直尺都很小，小圆规和短直尺能不能干大圆规和长直尺所干的事呢？

经过研究，答案是肯定的，长直尺和大圆规能干的事，短直尺和小圆规也能干，

当然，小圆规画不出大半径的圆弧来，不过，数学家看的是关键之点，几何作图的关键之点是定点，凡是用大圆规和长直尺确定的某些点，用小圆规和短直尺也能把它确定出来，这就表明小圆规和短直尺并不逊色！

更有趣的是，1797年意大利数学家马斯罗尼发现：只要用一把小圆规，就能完成一切由直尺和圆规联合起来所能干的事，这个发现引起了数学家的很大兴趣，后来又知道，丹麦人摩尔在1697年已发现了这回事，不过没引起当时数学家的注意罢了。

那么，只用一把直尺行不行呢？数学家很快证明了：只用一把直尺能作的图，少得可怜，但是，只要在平面上预先画好一个圆和它的圆心，便可以用直尺完成一切能由圆规和直尺完成的任务。

限制尺规作图的故事，似乎是到此为止了，已经限制到这种程度了，再加限制，还能干些什么呢？

意料之外的事发生了，沉寂了多年的尺规作图的舞台上，演出了精彩的一幕，

这一幕的主角是几位中国人，揭幕人却是一位著名的美国几何学家，年逾七旬的老教授佩多，

佩多敏锐地看出，固定半径的圆规的作图问题，可能隐藏着有趣的奥秘，他把这种固定半径的圆规形象地叫作“生锈圆规”。为了方便，不妨设这种“生锈圆规”只能画半径为1的圆。

佩多精心选择了两个问题，在加拿大的一份杂志上征求解答。

问题之一：已知两点A、B，只用一把“生锈圆规”。能不能找出一点C，使AC=BC=AB？

问题之二：已知两点A、B，只用一把“生锈圆规”，能不能找出线段AB的中点C？（要知道，线段AB是没有画出来的，因为没有直尺！）

后来的事态发展表明，正是这两个问题的解决，使“生锈圆规”作图的园地繁花怒放。

责任编辑：胡云志