基于随机过程的公路复式收费时间参数计算研究

吴宏伊 蒋贵川 易雷

摘 要：复式收费能提高收费站的通行能力，被广泛应用于收费站建设或改扩建中。该文在服从泊松分布的收费服务排队论模型基础上，对复式收费的完整过程进行建模，提出了一种适用性较强的计算复式收费时 间参数的方法，并计算出多亭复式收费方式对单式收费通行能力提高的比率，作为收费亭数选择的依据。

关键词：复式收费 通行能力 时间参数

中图分类号：U491.23 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（c）-0054-02

Computation of Time Parameters of Serial Toll Based on Stochastic Processes

Wu Hongyi Jiang GuiChuan Yi Lei

（Sichuan province communication department highway planning， survey， design and research institute， Chengdu Sichuan， 610041，China）

Abstract：Serial roll can improve the passthrough capacity of the toll station. It has been widely used in the construction or expansion of the toll station. This article models the whole process of the serial toll based on the traffic arrival subjected to the standard Poisson distribution. Then comes up with a practical computation method of time parameter of serial toll. With this method， we work out the improved degree of passthrough capacity of serial toll compared with single toll. The results can be used as the basis of choice of the number of tollboothes.

Key Words：Serial Toll；Passthrough Capacity； Time Parameters

复式收费是指在一条收费车道上设置两个或多个收费亭，同时为两辆或多辆车服务，从而提高收费车道通行能力的收费服务方式。在受到建设条件限制的收费站，复式收费无疑是提高收费服务水平的有效且可行的方式。随着我国国民经济的发展，已建成通车的高速公路普遍交通量剧增，部分收费站面临服务水平下降的问题，需进行改扩建以缓解拥堵现象。但是改扩建时可能会遇到地形条件受限，或者由于城市化发展，收费站被城市包围，因而难以增加车道的情况；而异址重建收费站又面临巨大的资金压力。在这种情况下，设置复式收费亭不失为一种简单经济的办法。另外，在交通流高峰期采用便携式车道应急收费机加快收费速度，也是一种复式收费方式，能有效缓解高峰时段的通行压力。

目前，基于随机过程排队理论的收费站通行能力研究已有一定基础，针对单式收费方式的通行能力量化标准已写入相关规范以指导收费车道数计算。对于复式收费车道的通行能力，现有文献给出了一些研究方法和结果。谭国贤[1]利用广东省数个收费站服务时间的观察值，统计出复式和单式收费方式下服务时间的数学期望和方差，相比较得出采用复式收费其车道的通行能力要比单亭收费增加40%左右（各收费站结果略有不同）。李昕[2]通过郑州机场收费站的现场调查数据，计算出采用复式收费模式的入口车道的通行能力增加了26.9%， 出口车道的通行能力增加了46.7%。采用实际观测数据进行统计分析具有数据来源真实、准确的优点，但由于收费员服务水平、大车比例、驾驶员习惯等因素影响，其适应性不高。谌海军等[3]基于元胞自动机对串行收费站布设方式的通行能力进行建模与仿真，计算出道单亭至5亭复式收费车道的通行能力。崔洪军等[4]采用时间驱动（即前一事件的结束作为后一事件的开始）的方法，模拟了收费通道服务3000列队车辆时，不同收费亭数对车辆逗留时间的影响，结果显示不多于5亭时，平均逗留时间随着收费亭的增加而减少；多于5亭时，平均逗留时间增加。这些模拟计算，都将车辆通过收费车道的过程分解几个分过程（如驶入、停车接受服务、加速离开）等，并对每个分过程分别进行了模拟，车辆总的逗留时间即由这几个分过程花费的时间组成，事实上也是将车辆在收费站接受服务的时间进行分析，只是采用了仿真模型输出的仿真结果作为分析的数据来源，虽然由此给出了复式收费通行能力的计算结果，但车辆到达和多车辆之间相互影响的规律仍然缺乏理论依据。

复式收费方式的通行能力不是单式收费的简单叠加，采用实际观测数据进行统计又具有局限性，已有研究没有给出普遍适用的理论计算值。该文在单式收费的排队论模型基础上，对复式收费的完整过程进行建模，计算出复式收费方式对单式收费通行能力提高的比率，作为收费亭数选择的依据。

1 基于随机过程的收费站设计理论基础

高速公路收费站通行能力研究的基础与前提是利用数学方法来描述交通流的具体特征，在研究上最早采用的是概率论， 其后出现了跟驰理论、流体力学理论和车队排队理论。在高速公路收费站通行能力研究中，主要采用概率论和车队排队理论。

收费站设计的标准理论是排队论。排队论假设收费站服务的交通流的到达流为泊松流，即在T时间内到达收费站的车辆数为k的概率为[5]：

p

其中为平均到达时间。

基于以上理论，可以判断车辆到达收费站符合以下条件：（1）随机到达；（2）车辆的到达率与时间的长度成正比；（3）车辆到达的概率不受以前的车辆到达的影响。

此时车辆的服务时间x服从参数为的负指数分布，x的平均值即为x的数学期望，根据负指数分布的数学期望性质可得：

E（x）

因此即为车辆的平均服务时间。

2 复式收费通行能力计算

2.1 复式收费通行能力通式

设复式收费亭数为n，在本次研究提出的复式收费模式下，每n辆车为一组计算其总的平均服务时间。n辆车的服务时间分别服从参数为u的负指数分布，其分布函数分别表示为：，，，：

在该收费模式下，n辆车必须全部完成收费服务离去后，后面的车辆才能行进至岛头位置的收费亭接受服务，因此n辆车总的服务时间等于其中服务时间最长的一辆车的服务时间。问题转化为求M=Max（）的分布，进而求出该分布的数学期望。

根据概率论中相互独立的连续型随机变量的最值分布计算方法，

其概率密度函数为

该式可看作n个负指数分布的和，根据负指数分布的特性，几个独立的负指数分布的随机变量的和还是一个服从指数分布的随机变量，利用负指数分布的数学期望特性，分别求其期望并求和得：

因此在不考虑由于收费亭增加，车辆需增加收费车道行驶距离的前提下，n亭复式收费模式下，n车辆总的平均服务时间为。

2.2 两亭复式收费通行能力计算

首先讨论两亭复式收费模式的通行能力。在上述复式收费模式下（即不考虑由于增加收费亭而增加了收费车道长度），利用通式计算出每两辆车为一组的总平均服务时间为：

因此在两亭复式收费模式下，两车辆总的平均服务时间为。

针对收费站出口服务时间，目前常用的设计指标采用18 s，后续计算以此为基础进行。如果在设计时采用其他数据，也可按照下述方法进行计算。

通常在两亭复式收费模式下，收费岛要加长，单车的平均服务时间在单式收费的基础上，还要加上多行驶两亭之间距离的时间。假设两亭之间距离为10米，车辆的时速为10公里，10米的距离行驶时间为3.6 s。本次研究对这一时间作为常量对待，即单车的平均服务时间延长为21.6 s。则两辆车总的平均服务时间为：

平均到每辆车，即为32.4/2=16.2 s。

针对同一收费广场，单式收费模式和两亭复式收费模式相比，车辆在收费广场内通过的总距离是一定的，也就是说，在单式收费模式下，车辆也要通过上复式收费时两亭之间的10 m距离，只是此时由于前面无收费亭，收费岛也较短，因此车速提升要快一些。收费广场内通常按20 km时速进行车速控制，本文采用这一数据计算单式收费时车辆通过10 m距离所花费的时间，即1.8 s。则单式收费时单车平均服务时间为19.8 s。

在同等服务水平下，收费站通行能力和平均服务时间之间的关系为：

T1/T2=V2/V1

由此得到本文设定的两亭复式收费模式的通行能力与单式收费的通行能力的关系为

V复= V单×19.8/16.2=1.22V单

这说明在同等服务水平下，本文设定的两亭复式收费模式的通行能力是单式收费通行能力的1.22倍。

2.3 多亭复式收费通行能力计算

在三亭复式收费模式下，收费亭之间间距为10 m，总距离为20 m，单车的平均服务时间在单式收费的基础上，还要加上多行驶20 m的时间为7.2 s，则单车的平均服务时间延长为25.2 s。三辆车总的平均服务时间为：

平均到每辆车，即为46.2/3=15.4 s。

单式收费时车辆通过20m距离所花费的时间为3.6 s，则单式收费时单车平均服务时间为21.6 s。

在同等服务水平下，本文设定的三亭复式收费模式的通行能力是单式收费通行能力的1.40倍。

以上计算过程应用到四亭、五亭模式，总结结果如表1所示。

3 结果分析

从表1可以看出，复式收费模式下，收费亭的增加必然提升收费站的通行能力。但通行能力的提升并不是随着亭数的增加而成比例增长的，而是随着收费亭数的增加而逐渐减缓增速。该结果反映了单通道多服务台模型下，前车的服务时间对后车可能会造成延误，这也与实际情况是相符的。

上一节给出了不同亭数复式收费模式下，通行能力相对单式收费的提高程度。从计算的过程可以看出，在复式收费模式下，计算结果将受到收费站出口服务时间标准值的影响，即该值越高，其在总的服务时间中所占的比例越高，那么计算出的复式收费相对单式收费通行能力的倍数越高，反之则收费亭的增加对通行能力的提升效果降低。这就要求在设计过程中，针对采用的不同出口服务时间进行本文所介绍的计算，以获取适用的通行能力数据。

4 结论

该文基于收费站的排队论模型，将单式收费模型扩展到复式收费模式，并计算出2亭至5亭复式收费模式下，收费站通行能力相对单式收费的提高效果。结果反应了复式收费模式下，多车辆同时通过收费车道时的完整过程。该文介绍的计算过程作为理论计算方法，具有一定的普适性，可以应用到不同情况的收费站收费车道设计中。

参考文献

[1] 谭国贤.高速公路复式收费通行能力研究[J].中国交通信息化，2011（9）：81-83.

[2] 李昕.单式及复式收费车道通行能力与车道数计算[J].山西建筑，2011，37（18）：128-129.

[3] 谌海军，吴伟，杜荣华.高速公路串行收费站通行能力仿真研究[J].计算机工程与应用，2012，48（30）：220-223.

[4] 崔洪军，丛颖利，赵述捷，等.复式收费通道通行能力研究[J].河北工业大学学报，2012，41（4）：73-76.

[5] 丁创新.高等级公路收费站通行能力研究[D].昆明理工大学，2005.